Самосопряженное преобразование

Линейное преобразование называется самосопряженным, если .

Свойство 8.7. Собственные числа самосопряженного преобразования – вещественны.

Доказательство. Пусть x –собственный вектор самосопряженного преобразования (т.е. ). Из равенств выводим , то есть .

Следствие 8.2. Для самосопряженного линейного преобразования евклидова пространства существует ортонормированный базис из собственных векторов.

Доказательство. Самосопряженное преобразование является нормальным, и значит, существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного преобразования имеет блочно диагональный вид. Поскольку все собственные числа вещественные, то все блоки первого порядка.