Первый способ

Приведение пары квадратичных форм

Рассмотрим задачу выбора базиса в котором пара квадратичных форм имеют диагональный вид. Не все пары квадратичных форм можно одновременно привести к диагональному виду, например, формы и xy привести нельзя.

Пусть даны квадратичные формы и , причем квадратичная форма - положительно определена. Тогда введем скалярное произведение и найдем ортонормированный базис, а затем приведем первую квадратичную форму к главным осям. Поскольку ортогональное преобразование не меняет скалярное произведение, то обе квадратичные формы будут приведены к каноническому виду.