Предел и непрерывность. Определение. Открытым шаром радиуса с центром в точке называется множество

Определение. Открытым шаром радиуса с центром в точке называется множество

Определение предела (по Коши) функции переменных полностью повторяет определение предела для функции одной переменной.

Определение. Пусть функция определена в шаре , где и Число называется пределом функции в точке и при этом пишут (или ), если такое, что

Точно также как для функции одной переменной доказываются следующие свойства предела:

1) Предел единственен;

2) Предел суммы, разности или произведения функций в точке равен сумме, разности или произведению пределов при условии, что они существуют.

3) Предел отношения двух функции в точке равен отношению пределов, при условии, что предел знаменателя не равен .

Определение. Пусть функция определена в шаре , где и Функцияназывается непрерывной в точке , если

В противном случае функция называется разрывной в точке . Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке множества

Из свойств предела следуют следующие свойства непрерывных функций:

1)Если функции и , где непрерывны в точке , то в точке непрерывны функции , а также если

2) Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке

При изучении свойств функций многих переменных удобно исследовать линии уровня и графики функций.

Определение. Пусть дана функция где Линией уровня, соответствующей значению , называется множество

Замечание. Линия уровня функции двух переменных представляет собой множество точек плоскости, удовлетворяющие равенству

Пример. Линиями уровня функции при являются концентрические окружности

.

Определение. Графиком функции двух переменных называется множество точек пространства