2014-02-17
794
Уравнения с разделяющимися переменными
Геометрический смысл дифференциального уравнения
Если функция f (x,y) определена в области DÍ R2 , то уравнение
y¢ = f (x, y) (7)
задает в любой точке области D значение углового коэффициента касательной к проходящему через эту точку графику решения уравнения (7).
Зададим в каждой точке (x,y)Î D направление касательной с помощью отрезка, тангенс угла наклона которого к оси Ox равен f (x, y). Построенное множество отрезков называется полем направлений уравнения (1).
Геометрически решить уравнение (7) означает, что требуется найти кривую y = j (x), которая в любой своей точке касается отрезка из поля направлений.
Тема 3: Интегрирование некоторых классов уравнений 1-го порядка.
Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида
(1)
В дальнейшем будем предполагать, что функции 
и 
непрерывны в промежутках 
и 
соответственно.
Заметим, что правая часть уравнения (1) равна произведению функции, зависящей только от 
, на функцию, зависящую от 
.
|
|
|
Теорема 1. В области, где 
, общий интеграл уравнения (1) задается равенством
(2)
Замечание 1. Равенство (2) эквивалентно соотношению
(3)
с произвольной константой 
, где 
и 
есть первообразные функций 
и 
соответственно.
Замечание 2. Области где 
, есть прямоугольники (или в зависимости от 
, полосы или полуполосы)
, где 
либо соседние нули функции 
, либо граничные точки промежутка .
Из теоремы 1 следует такой план решения уравнения (1):
1) Решить алгебраическое уравнение
(4)
и получить частные решения уравнения (1)
(5)
где 
корни уравнения (4).
2) В областях, где 
, уравнение (1) преобразовать так:
, ‘разделить’ переменные:
(6)
и получить общий интеграл (2), а затем (3).
3) Записать в ответ:
а) либо общее решение, полученное из равенства (3), либо общий интеграл (3);
б) особые решения из семейства (5) (не входящие в (3)).
Замечание. Равенство (6) нужно рассматривать как равенство дифференциалов с функцией 
, являющейся решением уравнения (1).
Пример 1. Решить уравнение
(7)
Это уравнение с разделяющимися переменными, где
Решим уравнение (7) по плану.
1) Найдем корни 
.
Следовательно, 
и 
есть частные решения (7) при 
.
2) В области, где 
, разделим переменные:
; 
;
(8)
Найдем
;
Поэтому из (8) получим, 
, где 
.
, где 
.
Выразим отсюда 
: 
где 
. (9)
Заметим, что если положить 
, то получим 
, что есть частное решение, полученное в пункте 1).
Заметим также, что частное решение не входит в семейство (9) ни при каком 
, то есть это особое решение.
Ответ: 
при 
- общее решение, 
- особое решение.
Пример 2. Решить уравнение с дифференциалами:
. (10)
|
|
|
Здесь 
есть дифференциал неизвестной функции 
.
Разделив уравнение (10) на 
, получим дифференциальное уравнение
,
которое можно разрешить относительно 
и дальше решать по плану. Однако можно этого не делать, поскольку в (10) переменные можно "разделить" сразу:
.
Интегрируя получим: 
, где 
Это и есть общий интеграл уравнения (10), который задает семейство концентрических окружностей радиуса 
с центром в точке (0,0).
Замечание. Другие, рассмотренные ниже, типы дифференциальных уравнений с помощью подходящих подстановок сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.
Определение. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
. (1)
Пример. Уравнение
. (2)
является однородным. Здесь 
.
Однородное уравнение (1) сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Для этого нужно ввести новую неизвестную функцию
