Рассмотрим уравнения вида
(1)
Здесь функции непрерывны на промежутке .
Заметим, что при получим уравнение с разделяющимися переменными.
Определение. При уравнение (1) называется линейным. При оно называется уравнением Бернулли.
Уравнение (1) (и линейное и Бернулли) можно решить по следующему плану:
Решение ищется в виде произведения функций
(2)
Подставив эту функцию в (1), получим
Сгруппируем слагаемые слева:
(3)
Чтобы упростить это уравнение, подберем функцию так, чтобы
. (4)
Это уравнение с разделяющимися переменными. Пусть
(5)
есть какое-нибудь частное ненулевое решение уравнения (4). После подстановки этой функции в (3) получим более простое уравнение относительно неизвестной функции :
(6)
Если уравнение (1) линейно, то есть , то уравнение (6) можно
разрешить относительно :
В случае уравнения Бернулли, то есть при , уравнение (6) является
уравнением с разделяющимися переменными.
Определив отсюда или из (6) функцию u, запишем решение в виде (2).
Таким образом, решение уравнения (1) сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными (4), (6). Еще раз отметим, что мы ищем одно ненулевое частное решение уравнения (4) и общее решение уравнения (6).
Пример 1. Решить задачу Коши:
(7)
(8)
Уравнение (7) является линейным. Ищем общее решение уравнения (7) в виде
(9)
Подставим это выражение в (7):
(10)
Подберем функцию так, чтобы
(11)
Это уравнение с разделяющимися переменными. Найдем частное решение уравнения (11) тождественно не равное 0.
Разделив переменные, получим:
Проинтегрируем это равенство:
Отсюда:
При одно из частных решений есть:
(12)
Подставим это выражение в (10). Учитывая (11), получим
.
Следовательно,
Отсюда и из (12) получим общее решение уравнения (7):
(13)
Подставив сюда начальное условие (8), получим: .
Ответ: .
Пример 2 Решить уравнение
(14)
Это уравнение Бернулли. Решаем его по тому же плану:
Ищем решение в виде: . Тогда из (14) получим:
(15)
Функцию найдем из уравнения:
Найдем ненулевое частное решение. Для этого "разделим" переменные:
Проинтегрируем это равенство и найдем частное ненулевое решение:
Подставим в (15) частное решение
(16)
(17)
Это уравнение с разделяющимися переменными относительно функции .
1). - частное решение (17). При этом .
2). В области, где разделим переменные и проинтегрируем:
Следовательно:
Отсюда выразим u:
Учитывая (19) найдем: .
Ответ: - общее решение; - особое решение.
Тема 4: Дифференциальные уравнения второго и высших порядков.