с помощью замены .
2) Уравнение вида:
, (3)
не содержащее явным образом x.
Для решения введем также функцию:
(4)
Только теперь аргументом функции р будет y, то есть:
p=p(y). (5)
Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим:
,
То есть
. (6)
Подставив (4),(6) в (3), получим уравнение
, (7)
являющееся уравнением первого порядка относительно функции (5).
Теперь для того, чтобы из решения p = p (y) уравнения (7) получить решение у=y(x) уравнения (3) нужно решить ещё одно уравнение 1го порядка: ,
которое является уравнением с разделяющимися переменными.
Замечание. Аналогично, с помощью подстановки (4)-(6) понижается порядок уравнения вида:
.
Пример 1. Решить уравнение:
.
Это уравнение не содержит y. Полагая , получим линейное уравнение 1го порядка:
. (8)
Решение его ищем по известному методу в виде:.После подстановки в (8) получим:
. (9)
Функцию подберем из уравнения:
После “разделения переменных” из соотношения найдем ненулевое частное решение: . Тогда уравнение (9) примет вид
Отсюда
|
|
Проинтегрировав, получим общее решение исходного уравнения:
Пример 2. Решить задачу Коши.
В это уравнение не входит x. Порядок уравнения понизим с помощью подстановки: y’=p, где p=p(y). Тогда согласно (6), и исходное уравнение примет вид:
1. Случай: p =0. Отсюда , то есть y=C=const.
2. Случай: p ¹0, тогда p’tg y=2p.
Это уравнение с разделяющимися переменными относительно функции p=p(y).
Разделим переменные: Проинтегрируем это равенство:
, где =const.
Выразим р: Отсюда, учитывая 1 случай, запишем общее решение уравнения (12) Теперь для решения исходного уравнения имеем уравнение с разделяющимися переменными:
(13)
Решаем его по плану:
1. Из уравнения найдем частные постоянные решения:
, (14)
2. В области, где , разделим переменные:
Это равенство есть общий интеграл исходного уравнения, а равенства (14) задают особые решения.
Особые решения (14) не удовлетворяют начальным условиям (10), (11).
Подставив начальное условие (10) в общий интеграл, получим: .
При x =0 из равенств (10),(11) и (13) найдем C1 = -1. Поэтому Ctg y=x.
Ответ: у=arcctg(x).
Тема 5: Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.