2014-02-18
9486
Пусть А 1, А 2 ,..., Аn,... конечная или счетная полная система событий, Р (Аi) > 0 для любого i.
Теорема 1 (формула полной вероятности). Для любого события В справедливо равенство
P (B)= S n P (B / An)× P (An).
Доказательство. Так как события А 1, А 2, .... Аn... образуют полную систему, то W = È An. Поскольку В Ì W всегда, то
Из аксиомы 3 следует, что Р (В) = S n P (An Ç B), и по формуле умножения вероятностей далее получаем, что
P (B)= Sn P (B / An)× P (An).
Пример 1. Пусть имеются три стола, и в каждом по два ящика. Причем, в ящиках первого стола имеются только золотые монеты, в одном ящике второго стола — золотые, в другом — серебряные, а в ящиках третьего стола — только серебряные. Наугад выбирается стол и достается монета. Какова вероятность того, что она золотая? Обозначим через Ai, i= 1, 2, 3 события, состоящие в выборе стола с номером i, соответственно; В = { вынуть золотую монету }. Из условий ясно, что P (Ai) = 1/3, i = 1,2,3. Подсчитаем
P (B / A 1)=1, P (B / A 2)=1/2, P (B / A 3)=0.
Тогда по формуле полной вероятности получаем, что
Пример 2. На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый дает в среднем 0,2% брака, второй — 0,1%. Найдем вероятность события В = { деталь бракованная }, если с первого автомата поступило 2000 деталей, а со второго — 3000. Обозначим
|
|
|
Ai == { на сборку поступила деталь с i-го автомата }.
Ясно, что A 1 È A 2 = W и A 1 Ç A 2 = Æ. Тогда, по формуле полной вероятности получим
P (В) = P (A 1) • P (B / A 1) + Р(A 2) • Р(В/ A 2).
Найдем
P (B / A 1) = 0,002, Р(В / A 2) = 0,001,
Следовательно, Р (В) = 0,4 × 0,002+0,6 × 0,001 = 0,0014.
