Независимость двух событий

Независимость случайных событий

Пусть имеются два события A и В. Естественно считать, что событие A не зависит от события В, если P (A) не зависит от наступления или не наступления B, т.е. если

P (A / B)= Р (A). (1.2)

Аналогично для независимости В от A выполняется

Р (В / А)= Р (В). (1.3)

Используя определение условной вероятности, (1.2) и (1.3) можно переписать в следующем виде:

Р (А Ç В) = Р (А) × Р (В) (1.4)

Отсюда следует, что независимость событий — понятие симметричное. Равенство (1.4) осмыслено, даже если Р (A) или P (B) равны нулю.

Определение. События А и В называются независимыми, если их вероятности связаны соотношением (1.4).

Пример 1. Из колоды в 36 карт наудачу выбирается одна карта. Рассматриваются события

А = { выбранная карта бубновой масти }, В = { выбранная карта «туз» }.

Проверим независимость событий А и В. Вычислим Р (А) =1/4, Р (B) =1/9,

Р (А Ç В) = 1/36, поскольку событие А Ç В = { эта карта «бубновый туз»}. Отсюда следует, что Р (А Ç В) = Р (А) × Р (В), т.е. события А и В независимы.

Пример 2. Рассматриваются семьи с четырьмя детьми. Возможные «исходы»: {4 мальчика }, {3 мальчика и 1 девочка }, {2 мальчика и 2 девочки }, {1 мальчик и 3 девочки }, {4 девочки }, их всего 5. «Исходы» можно считать равновероятными. Рассмотрим события

А = { в наугад выбранной семье два и более мальчиков },

В = { в наугад выбранной семье есть и мальчик, и девочка }.

Проверим, независимы ли эти события. Вычислим Р (А)=3/5, Р (В) = 3/5, Р (А Ç В) = 2/5. Отсюда получаем, что Р (А Ç В)¹ Р (А) × Р (В), т.е. события А и В не являются независимыми.

Пример 3. Для повышения надежности прибора он дублируется другим таким же прибором, надежность (вероятность безотказной работы) каждого прибора равна р. При выходе из строя первого прибора происходит мгновенное переключение на второй (надежность переключающего устройства равна единице). Определим вероятность события

А = { система двух дублирующих друг друга приборов надежна },

предполагая, что приборы функционируют независимо друг от друга.

Понятно, что отказ системы требует совместного отказа обоих приборов, следовательно

P (А) = 1 - Р (Ā ₁ Ç Ā ₂) = 1 - Р (Ā ₁) ×

Р (Ā ₂) = 1 - (1 – р)²,

где = { i-й прибор работает безотказно }, i = 1,2. Заметим, что во втором равенстве из приведенной цепочки использовалась независимость событий Ā ₁ и Ā ₂.