.
При Т >> Θ отношение (Θ / Т) стремится к 0, и теплоемкость С стремится к значению 3R, что соответствует закону Дюлонга и Пти.
При температурах Т<< Θ теплоемкость стремится к нулю (следствие теоремы Нернста – энтропия при Т =0 равна 0).
Эта теория не позволила получить степенной закон (21.3) изменения теплоемкости при очень низких температурах. Теория Эйнштейна была усовершенствована Дебаем.
Согласно Дебаю атомы твердого тела сильно связаны между собой и кристалл рассматривается как система 3 NA связанных колебаний, соответствующих 3 NA степеням свободы, причем частоты всех колебаний различны.
Чтобы найти энергию кристалла вводится спектральная плотность g (ν), которая определяется как число колебаний в интервале d ν.
Тогда энергию кристалла можно получить, умножив среднюю энергию колеблющегося атома (осциллятора) на g (ν), а затем проинтегрировать полученное выражение по всем частотам колебаний кристалла
. (21.9)
Можно показать, что число колебаний g(ν) для 1 моля кристаллавыражается формулой:
, (21.10)
где частота , которая равна
,
определяет верхнюю границу спектра колебаний решетки (частота Дебая ). u - скорость звука, N –число осцилляторов в объеме кристалла V.
Подставив выражения (21.7) для средней энергии и (21.10) для спектральной плотности колебаний в формулу (21.9) получим:
. (21.11)
Если ввести характеристическую температуру Дебая θ =hν D /k и переменную , то формулу (21.11) можно представить в виде:
. (21.12)