Деление отрезка в данном отношении
Аффинная система координат
I. Метод координат на плоскости
Определение 1. Аффинной системой координат или аффинным репером называется совокупность некоторой точки О и некоторого базиса (,). (аффинное = родственное, репер = метка).
Точка О называется началом координат, и - координатными векторами.
Если базис (,) – правый, то аффинная система координат называется правой, если базис левый, то – левой.
Определение 2. Осью называется прямая с выбранным на ней направлением, началом отсчета и единичным отрезком. Две оси, проходящие через начало координат и имеющие направления векторов и, называются соответственно осью абсцисс и осью ординат или координатными осями.
Четыре части, на которые они делят плоскость, называются координатными углами или квадрантами.
Обозначения: ось абсцисс –,;
ось ординат –,;
система координат -,.
Правая система координат |
Левая система координат |
Определение 3. Радиус-вектором точки М плоскости называется вектор. Его координаты x и y в базисе (,) называются координатами точки М в аффинной системе координат, при этом х называется абсциссой, у – ординатой.
Обозначение:,,.
По определению:.
x
y
Определение 4. Плоскость называется ориентированной, если на ней выбрана какого-либо вида аффинная система координат – правая или левая и, следовательно, определено направление отсчета углов (против или по часовой стрелке). Система координат выбранного вида называется положительно ориентированной, а выбранное направление отсчета углов – положительным.
Замечание. Будем считать плоскость положительно ориентированной, на ней выбрана правая система координат и, следовательно, положительным направлением отсчета углов – против часовой стрелки.
Определение. Пусть на прямой лежат направленный отрезок и произвольная точка М. Отношением, в котором эта точка делит данный отрезок, называется такое число λ, что:
(1)
Обозначение: λ=(AB,M)
А |
M |
B |
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:
1) λ>0, точка М лежит внутри отрезка АВ,.
λ=1, М – середина отрезка АВ.
2) λ=0, - точка М совпадает с началом А отрезка АВ.
3) λ<0, точка М лежит вне отрезка АВ,.
А |
M |
B |
Замечание: λ -1, т. к. в этом случае или и и, то есть.
Теорема. Если точка M(x;y) делит в отношении λ -1 направленный отрезок с началом А(х1;у1) и концом В(х2;у2), то
,. (2)
Доказательство. - согласно определению. Перейдем к координатам:,.
Из условия равенства векторов и имеем:
Теорема доказана.
Следствие. Если М – середина направленного отрезка, то λ=1 и
|
|
(3)
Рассмотрим две аффинные системы координат. Одну из них обозначим и назовем старой, другую обозначим и назовем ее новой.
Теорема. Пусть 1) начало координат и координатные векторы новой системы имеют в старой системе координаты:,,; 2) произвольная точка М имеет в старой системе координаты x, y, а в новой системе координаты. Тогда имеют место формулы:
, где. (*)
Доказательство.
x |
y |
СТАРАЯ СИСТЕМА НОВАЯ СИСТЕМА
КООРДИНАТ КООРДИНАТ
По определению координат точек и векторов имеем для старой системы координат:
; (1)
(2)
. (3)
Для новой системы координат аналогично имеем:
. (4)
Подставим выражения и из (2) в (4):
. (5)
По правилу треугольника имеем:
. (6)
Подставим в это равенство выражения (3), (1) и (5):
+++++.
Приведем подобные члены:
+ = +.
Так как координаты вектора в данном базисе определены однозначно, то формулы (*) справедливы:
(*)
Теорема доказана.