Прямая и обратная проблема

Предмет и задачи математической физики.

ВВЕДЕНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ

Иванов Ю. В.

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

КРАТКИЙ КУРС

Ю. В. Иванов

Учебное пособие

Глазов

УДК 531.0

ББК 22.311

И20

Рецензенты:

В. А. Саранин, доктор физико-математических наук,
профессор (г. Глазов)

А. В. Проказов, кандидат физико-математических наук,
доцент (г. Глазов)

И20 Краткий курс математической физики: Учебное пособие / Ю.В. Иванов. – Глазов: ООО «Глазовская типография», 2012. – 48 с.

ISBN

В пособии приведён краткий обзор основных разделов математической физики. Предназначено для студентов физико-математических специальностей педагогических вузов.

ISBN УДК 531.0

ББК 22.311

© Иванов Ю.В., 2012

1. ВВЕДЕНИЕ......................................................................... 5

1.1. Предмет и задачи математической физики. Прямая и обратная проблема 5

2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ...... 7

2.1. Скалярное поле. Поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент 7

2.2. Векторное поле. Векторная функция. Векторные линии........ 10

2.3. Дифференциальные характеристики скалярного и векторного полей 12

2.4. Элементы тензорного исчисления......................................... 13

2.5. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса....... 16

2.6. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса....................... 16

2.7. Вопросы для самопроверки.................................................... 17

3. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 19

3.1. Дифференциальные уравнения в частных производных......... 19

3.2. Типы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка 20

3.3. Вывод уравнения колебаний струны..................................... 21

3.4. Вывод уравнения теплопроводности..................................... 23

3.5. Классификация задач математической физики. Постановка

задач математической физики, условие корректности........... 24

3.6. Вопросы для самопроверки................................................... 25

4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ....................................................................... 27

4.1. Решение задачи Коши о свободных колебаниях струны

методом Даламбера............................................................... 27

4.2. Решение смешанной задачи о колебаниях конечной струны

с закреплёнными концами методом Фурье............................. 29

4.3. Решение задачи Коши для одномерного уравнения

теплопроводности.................................................................. 34

4.4. Уравнение Лапласа. Гармонические функции. Решение уравнения Лапласа в сферических координатах методом
Фурье. Полиномы Лежандра. Понятия о сферических
и шаровых функциях............................................................ 38

4.5. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Понятие о функциях Бесселя 42

4.6. Понятие о методе функции Грина......................................... 43

4.7. Специальные функции.......................................................... 43

4.8. Вопросы для самопроверки................................................... 44

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ........................................................ 46

Математическая физика — это наука о математических моделях физиче­ских явлений.

Математическая модель — описание явления системой математи­ческих уравнений.

Рис.1. Этапы научного познания

Процесс научного познания строится по циклу факты модель следствия эксперимент, в которомможно выделить следующие этапы (рис.1): 1) Изучаемый объект или явление. 2) Физическая модель. 3) Математическая модель. 4) Математическая задача. 5) Решение математической задачи. 6) Интерпретация решения математической задачи в терминах физической модели. 7) Верификация решения математической задачи средствами физического эксперимента.

Из этой схемы можно определить место математической физики в цикле научного познания и область её задач.

Математическое поле — область пространства, каждой точке которого соответствует определённое значение некоторой математической величины.

В зависимости от того какая величина распределена в пространстве, можно выделить скалярные, векторные и тензорные математические поля. Если математическое поле образует физическая величина, то принято говорить о математическом поле физической величины. Например, можно описать распределение температуры в некотором объёме математическим полем температуры.

Основная задача математической физики — аналитическое исследование математических полей.

В связи с решением основной задачи математической физики выделяют две проблемы.

Прямая проблема. Пусть задано математическое поле. Требуется определить свойства и основные характеристики этого поля. Решением прямой проблемы занимается математическая теория поля.

Обратная проблема состоит в нахождении конкретного вида поля, если известны условия, в которых находится объект или протекает физическое явление. Решением обратной проблемы занимается теория дифференциальных уравнений в частных производных.