Решение задачи Коши о свободных колебаниях
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Пусть струна является настолько протяжённой, что за интересующее нас время колебание, вызванное отклонением точек некоторого среднего участка струны, не успевает достигнуть её концов. В этом случае граничные условия можно не учитывать. Это задача Коши о бесконечной струне.
Решение задачи сводится к решению уравнения колебаний струны
(4.1.1) |
при начальных условиях:
, Таким образом, для нахождения и необходимо решить систему уравнений:
Для упрощения второго уравнения системы найдём от его правой и левой частей интеграл с переменным верхним пределом: Поделив обе части на, и подставив верхний и нижний пределы в левой части, получим: Обозначим. Тогда: Таким образом, система (4.1.4) приобретает вид: Поочерёдно складывая и вычитая уравнения, выразим функции и Заменим в полученных значениях и аргумент соответственно на и. Получим:
Подставим полученные значения в решение Даламбера (4.1.3), и, после упрощения выражения, получим формулу Даламбера:
Полученная формула (4.1.5) является решением уравнения колебаний струны (4.1.1), полностью удовлетворяющим начальным условиям (4.1.2). 4.2. Решение смешанной задачи о колебаниях конечной струны Рассмотрим задачу в свободных колебаниях струны, закреплённой на обоих концах. Она сводится к решению уравнения колебаний струны
при граничных условиях
и начальных условиях
|