Локальная формула Муавра-Лапласа

Формула Пуассона

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ

Полиномиальное распределение

Формула Бернулли

СХЕМА ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ

Пусть производятся п независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (по традиции такой исход опыта называют успехом) с одной и той же вероятностью Р(А) = р или произойти противоположное событие (такой исход называют неудачей) с вероятностью P () = q = 1 – p (такого рода схема испытаний называется схемой Бернулли). Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно m раз, находится по формуле Бернулли

, m = 0, 1, 2,…, п.

Отсюда, в частности, следует, что вероятность того, что в п испытаниях, удовлетворяющих схеме Бернулли, событие А наступит:

а) менее т раз – равна P_n (0) + P_n (1) +…+ P_n (m – 1);

б) более т раз – равна P_n (m + 1) + P_n (m + 2) +…+ P_n (n);

в) хотя бы один раз– равна P_n (m ≥1) = 1 – P_n (0) = 1 – qⁿ;

г) не менее m₁ раз и не более m₂ раз – равна

.

Число m₀ (0 ≤ m₀ ≤ п) называется наивероятнейшим числом наступлений события А (или наиболее вероятным числом успехов) в схеме Бернулли, если P_n (m₀) ≥ P_n (m) для всех m = 0, 1, 2,… ,п. Если вероятность р и q отличны от нуля; то число m₀ определятся из двойного неравенства

np – q ≤ m₀ ≤ np +p

Если в каждом из п независимых испытаний вероятность наступления события А равна p_i (числа p_i, вообще говоря, разные), то вероятность P_n (m) того, что в этой серии испытаний событие А наступит ровно т раз, равна коэффициенту при m -й степени (т. е. при z^m) многочлена

Функция при этом называется производящей функцией.

Пусть теперь каждое из п испытаний может иметь только k исходов событий A₁, A₂, …, A_k с соответствующими вероятностями p₁, p₂, …, p_k (ясно, что. Тогда вероятность того, что в этих опытах событие A₁ появится m₁ раз, событие A₂ – m₂ раз,…, событие A_k – m_k раз (m₁ + m₂ +… + m_k = п) равна

.

Эта формула задает полиномиальное распределение вероятностей (название объясняется тем, что выражение для является общим членом полинома (p₁ + p₂ +…+ p_k) ^п). Заметим, что схема Бернулли является частным случаем полиномиального распределения при k = 2,
p₂ = 1 – p₁= q₁.

Непосредственное применение формулы Бернулли при большом числе испытаний связано с громоздкими вычислениями, Поэтому при больших п вместо неё, как правило, используют приближенные формулы Пуассона и Муавра-Лапласа.

Везде далее речь идет о серии п независимых испытаний по схеме Бернулли, P_n (m) означает вероятность ровно т успехов в этой серии.

Если число испытаний п достаточно велико, а вероятность р достаточно мала, причём их произведение а = пр не мало и не велико (обычно достаточно условий р < 0,1; npq < 10), то вероятность P_n (m) можно приближенно найти по формуле Пуассона

.

Теорема 7.1 Если число испытаний п достаточно велико, а вероятности р и q не очень близки к нулю (обычно достаточно условий п > 100, npq > 20), то вероятность P_n (m) можно приближенно найти по локальной формуле Муавра-Лапласа

,

где – функция Гаусса.

Таблица значений функции приводится в приложениях.