Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Законы биномиальный и Пуассона

ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Интегральная формула Муавра-Лапласа

Теорема 7.2 В условиях локальной формулы Муавра-Лапласа вероятность того, что число успехов т заключено между т₁ и т₂ можно приближенно найти по интегральной формуле Муавра-Лапласа

,

где, – функция Лапласа.

Таблица значений функции Ф(х) приводится в приложениях.

Пример. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,007. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность 9 «сбоев».

Решение. По условию п = 1000, тп = 9, р = 0,007. Поскольку п – достаточно велико, р – мало (npq < 7), то для вычисления P ₁₀₀₀(9) можно использовать формулу Пуассона. Имеем а = [ пр] = 1000 ∙ 0,007 = 7, откуда

Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа (т.е. между двумя соседними возможными значениями нет возможных значений), которые эта величина принимает с определенными вероятностями. Другими словами, возможные значения дискретной случайной величины можно перенумеровать. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (в последнем случае множество всех возможных значений называют счётным).

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень её возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины X может быть, задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения х_i, а вторая – вероятности р_i:

где

Если множество возможных значений X бесконечно (счётно), то ряд p₁ + p₂ + … сходится и его сумма равна единице.

Закон распределения дискретной случайной величины X может быть также задан аналитически (в виде формулы)

или с помощью функции распределения.

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки –возможные значения X, р_i – соответствующие вероятности) и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X – числа появлений события в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р; вероятность возможного значения Х = m (числа m появлений события) вычисляют по формуле Бернулли:

, m = 0, 1, 2,…, п. (см.6)

Если число испытаний велико, а вероятность р появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу где k– число появлений события в п независимых испытаниях, λ = пр (среднее число появлений события в п испытаниях), и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

Пример. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X 1 3 6 8

р 0,2 0,1 0,4 0,3

Построить многоугольник распределения.

Решение. Построим прямоугольную систему координат, причём по оси абсцисс будем откладывать возможные значения х_i, а по оси ординат – соответствующие вероятности р_i. Построим точки

М₁ (1; 0,2), M₂ (3; 0,1), M₃ (6; 0,4),и M₄ (8; 0,3). Соединив эти точки отрезками прямых, получим искомый многоугольник распределения (см. рис.)