Заря Луч

Понятие устойчивости игры и равновесия по Нэшу

Основные понятия теории игр

Глава 6. Основы теории выбора оптимальной стратегии действий

В основе методов выбора оптимальной стратегии действий лежит теория игр. Игрой называется математическая модель действий двух или более сторон, каждая из которых стремится максимизировать свой выигрыш. Рассмотрим стандартную математическую модель — таблицу решений.

	В1	В2	...	Вm
А1	F11	F12	...	F1m
А2	F21	F22	....	F2m
...	...	...	....	....
Аn	Fn1	Fn2	....	Fnm

В теории игр эта таблица интерпретируется следующим образом:

· А₁.....А_n — 1-я играющая сторона;

· B₁.....B_m — 2-я играющая сторона.

Значения Fij — выигрыш для стороны 1 и проигрыш для стороны 2. Сама таблица решений называется матрицей игры. Может оказаться, что матрица выигрыша для одной стороны не совпадает с матрицей проигрыша для другой стороны, тогда такая игра называется биматричной.

Если выигрыш одной стороны, всегда означает проигрыш другой, то такая игра называется антагонистической. Могут быть игры, в которых обе стороны в выигрыше — неантагонистические игры. Так как выигрыши у разных сторон различны, то неантагонистические игры являются биматричными.

Выбор одной из альтернатив A1, A2,..., An называется стратегией первого игрока. Выбор одной из альтернатив B1, B2,...,Bm называется стратегией второго игрока. В совокупности обе стратегии называются стратегией игры.

Значение выигрыша и проигрыша в результате игры называется значением игры.

Если сумма выигрыша одного игрока и проигрыша другого постоянна, то игра называется игрой с постоянной суммой. Если постоянная сумма равна нулю, то это игра с нулевой суммой.

Рассмотрим игру на примере. Пусть:

· 1 игрок — предприятие “Заря”;

· 2 игрок — предприятие “Луч”.

Заря выпускает цветные и серебристые птички (ЦП, СП), а Луч — цветные и серебристые рыбки (ЦР, СР).

Цены на игрушки одинаковы, сбыт постоянен и равен 1000 шт. Заря выпускает игрушки, не зная, что выпускает Луч, а Луч знает, что выпускает Заря. Тогда у Зари могут быть только две стратегии (ЦП или СП), а у Луча — четыре. Например, в ответ на ЦП выпускать ЦР, и на СП — ЦР (первая стратегия), в ответ на ЦП выпускать ЦР, а на СП — СР (вторая стратегия) и т. д. Тогда матрица игры будет похожа на таблицу решений.

Стратегии Стратегии Луча

Зари 1 2 3 4

ЦП->ЦР ЦП->ЦР ЦП->СР ЦП->СР

СП->ЦР СП->СР СП->ЦР СП->СР

1 ЦП ЦП->ЦР ЦП->ЦР ЦП->СР ЦП->СР

40:60 40:60 90:10 90:10

2 СП СП->ЦР СП->СР СП->ЦР СП->СР

70:30 20:80 70:30 20:80

Так как при постоянном сбыте 1000 шт. количество игрушек, проданных Зарей, однозначно определяет количество игрушек, проданных Лучем, то, чтобы упростить матрицу игры, перепишем ее в другом виде: