z(n) + a1×z(n-1) + …+ an-1×z' + an×z = 0 (*)
уравнение (*) - однородное линейное дифференциальное уравнение
ai – постоянные числа (вещественные, комплексные)
Символическое (операционное) обозначение:
; (О.Хэвисайд)
Определение:
Пусть L(p) = а0∙рn + a1×рn-1 + …+ an-1×р + an
Произвольный многочлен относительно р с постоянными константами аi, z -некая функция независимой переменной t'.
L(p)z - многочлен относительно z (не умножить на z)
L(p)z = z(n) + a1×z(n-1) + …+ an-1×z' + an×z
Если L(p) и H(p) – произвольные многочлены, то
Свойства А:
- L(p)∙(z1+z2) = L(p)∙z1+ L(p)∙z2
- (L(p) + H(p))∙z = L(p)∙z+ H(p)∙z
- L(p)(H(p)z) = L(p)∙Н(p)z Þ L(с,z) = с∙L(z), с = const
L(p)z = 0
L(p) = а0∙рn + a1×рn-1 + …+ an-1×р + an
Алгебраический многочлен (n-показатель степени)
Свойства В:
Пусть L(p) - произвольный многочлен относительно символа р
L(p)∙е lt = L(l)∙е lt (t - время, независимая переменная)
е lt – тогда и только тогда является решением уравнения L(p)z, когда число l есть корень многочлена L(p).
L(p)- характеристический многочлен
Предполагаем, что характеристическое уравнение не имеет кратных корней.