Пусть L(p)z = 0
Линейный дифференциальный оператор (однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами)
Многочлен называется устойчивым, если все его корни имеют отрицательные вещественные части.
Геометрически: все корни должны лежать слева от мнимой оси в плоскости корней характеристического уравнения
Плоскость корней
Пусть lj = mj + inj – корни многочлена L(p) = 0
j = 1,2…m
i = -мнимая единица
Найдется такое положительное число a > 0
mj < - a; j = 1, 2… m
Если это справедливо, то найдется такое положительное число H > 0
, t³0
решение®0
Если хотя бы один из корней уравнения L(p) = 0 имеет положительную вещественную часть, то еlt® ¥, то система неустойчивая (t ® ¥).
Задача: найти условие, при котором система устойчива
· L(p) = p2 + a∙p+b – 2- ой степени
многочлен устойчив при a > 0
b > 0
многочлен должен быть положительными
· Если многочлен L(p) = а0∙р(n) + a1×р(n-1) + …+ an-1×р + an с действительными коэффициентами устойчив, то все его коэффициенты положительные.(Теорема А.Стодола)
(Обратная формулировка не всегда верная)
Пример: z3 + z2 + 4z + 30 = 0; корни -3, 1 ± 3i
· L(p) = а0∙р(n) + a1×р(n-1)+ a2×р + a3, в которым а0 >0 с действительного коэффициентами устойчив, когда а0 , а1 , а2 , а3 >0
а1∙ а2> а0∙ а3