Свойства средней арифметической

Выбор формулы средней

N – 1 (6.2.7)

При расчете средних величин появилось понятие “ вес ”. Всегда ли понятия веса и частоты совпадают? В предыдущих примерах совпадало. Рассмотрим такой экономический показатель, как уровень рентабельности:

-- å Балансовая прибыль

R общая = --------------------------------------------------------------------------------.

å Основные фонды + å Нормируемые оборотные средства

В качестве веса будет выступать стоимость основных производственных фондов и нормируемых оборотных средств, то есть понятие веса и частоты не всегда совпадают.

На практике из массы признаков необходимо выбрать один, который следует использовать в качестве веса. Выбор веса не следует понимать так, что всякий раз может быть несколько вариантов взвешивания. Вопрос должен быть решен таким образом, чтобы в результате взвешивания был бы обеспечен возврат к тем величинам, которые играли роль числителя при исчислении средней величины. Следовательно, при взвешивании средних величин в качестве весов должен быть взят знаменатель дроби, ибо только при умножении на то, на что раньше делили, мы вернемся к первоначальной величине.

Выбор формулы уравнения средней предполагает следующие этапы:

1. Экономическое содержание определяемого показателя и методика его расчета.

2. Вычисление любой средней величины таким оюразом, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака не изменилась величина некоторого итогового определяющего показателя, который связан с осредняемым признаком. Например, при замене фактической заработной платы на среднюю величину не должен меняться фонд оплаты труда: _

å x_i * f_i = x * å f_i.

3. Математическое выражение определяющего показателя и замена вариантов осредняемого показателя их средней величиной.

4. Решение уравнения.

Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, имеющими практическое значение:

n Сумма отклонений отдельных вариант от средней равна 0.

n При умножении или делении всех частот ряда распределения на одно и то же число средняя не меняется.

n Средняя от постоянной величины равна ей самой.

n Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариант на частоты.

n Изменение каждого варианта на одну и ту же величину изменяет среднюю на ту же самую величину.

n Изменение каждого варианта в одно и то же число раз изменяет среднюю в это же число раз.

n Средняя суммы равна сумме средних.

n Сумма квадратов отклонений вариант от средней величины меньше, чем от любой другой величины.

Изложенные свойства средней арифметической позволяют во многих случаях упростить ее расчеты: можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину, разность сократить на общий множитель, а затем исчисленную среднюю умножить на общий множитель и прибавить произвольную постоянную величину.

Формула средней арифметической взвешенной получит следующий вид:

--

X = m₁ * i + A,

(x - A) f

å ----------- * ------