ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЗНАКА
Пусть относительно общей декартовой системы координат задана прямая общим уравнением .
Рассмотрим функцию , где .
.
.
Выясним смысл неравенств и .
Пусть и : , .
Говорят, что прямая делит отрезокв отношении , если в этом же отношении точка пересечения прямых и делит отрезок .
Пусть точка пересечения прямых и делит отрезок в отношении , т.е. , и :
, .
Тогда
, (*)
а поскольку по условию , то , , то . Поэтому из (*) получаем
. (7.1)
Если – внутренняя точка отрезка , то и (7.1)
,
т.е. и имеют разные знаки.
Если – внешняя точка отрезка , то и (7.1)
,
т.е. и имеют одинаковые знаки.
Вывод: В точках, расположенных по разные стороны прямой , линейный трехчлен принимает значения разных знаков. В точках, расположенных по одну сторону от прямой , линейный трехчлен принимает значения одного знака.
Таким образом, всякая прямая делит плоскость на две полуплоскости так, что в точках одной из них функция () принимает положительные значения, а в точках другой – отрицательные.
|
|
Определение. Вектор называют главным вектором прямой .
Очевидно, что и не коллинеарны.
Действительно, допустив противное, получаем
.
Получили противоречие.
Отложим теперь главный вектор от некоторой точки прямой .
Пусть и . Т.к. , то . Тогда ,
и
.
Следовательно .
Вывод: Главный вектор прямой принадлежит положительной полуплоскости, если он приложен к некоторой точке этой прямой.
Замечание: Если прямая не проходит через начало координат, то знаки полуплоскостей определяют с помощью точки – начала ординат.