Определение. Ненулевой вектор, перпендикулярный направляющему вектору прямой, называют нормальным вектором прямой.
Пусть относительно прямоугольной декартовой системы координат , задана прямая и . И пусть и – нормальный вектор прямой .
Тогда . – направляющий вектор прямой , и
. (8.1)
Соотношение (8.1) называют уравнением прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору .
Определение. Уравнение прямой называют нормальным, если ее нормальный вектор является единичным.
Пусть . Тогда . Точка – основание перпендикуляра, проведенного из начала координат на прямую .
(), .
. (*)
Точке поставим в соответствие ее радиус-вектор: . Тогда . Поэтому (*) или, используя свойства скалярного умножения векторов, получаем
. (8.2)
Равенство (8.2) в координатной форме принимает вид
. (8.3)
Соотношение (8.3) – нормальное уравнение прямой .
Если в прямоугольной декартовой системе координат прямая задана общим уравнением, то главный вектор и направляющий вектор взаимно перпендикулярны:
|
|
.
Вывод: В прямоугольной декартовой системе координат главный вектор прямой является ее нормальным вектором.
Пусть прямая задана общим уравнением
. (8.4)
Чтобы привести уравнение (8.4) к нормальному виду, домножим обе его части на :
. (**)
Пусть (**) – нормальное уравнение. Тогда
. (8.5)
Число (8.5) называют нормирующим множителем.
Замечание: Знак выбирают противоположным знаку свободного члена общего уравнения прямой.
Тогда (**)
. (8.6)
Кроме того, вектор имеет координаты
. (8.7)