ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНОЙ
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, в ряде случаев, когда закон распределения неизвестен, можно обойтись несколькими числами, отражающими наиболее важные особенности случайной величины. К числу важных числовых характеристик относятся: математическое ожидание, которое приближенно равно среднему значению случайной величины, и дисперсия, показывающая, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания.
■ Математическое ожидание дискретной случайной величины X (M (X)) – сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности, т.е. M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + … + xnpn = xipi.
▲ Теорема 2.20. Математическое ожидание постоянной величины C равно самой постоянной, т.е. M (C) = C.
▲ Теорема 2.21. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. M (CX) = CM (X).
▲ Теорема 2.22. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M (A 1 A 2 … An) = M (A 1)· M (A 2)·… · M (An).
|
|
▲ Теорема 2.23. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е. M (A 1+ A 2+…+ An) = M (A 1)+ M (A 2) +…+ M (An) или M ( A i) = M (A i).
■ Дисперсия случайной величины X (D (X)) – математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е. D (X) = M [ X – M (X)]2.
▲ Теорема 2.24. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания, т.е. D (X) = M (X 2) – [ M (X)]2.
На практике для вычисления дисперсии обычно используют эту формулу. Здесь X 2 – случайная величина, возможные значения которой равны квадратам возможных значений величины X, а вероятности возможных значений X 2 совпадают с соответствующими вероятностями значений X.
▲ Теорема 2.25. Дисперсия постоянной величины C равна нулю, т.е. D (C) =0.
▲ Теорема 2.26. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е. D (CX) = C 2· D (X).
▲ Теорема 2.27. Дисперсия суммы (разности) конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. D (A 1± A 2± …± An) = D (A 1)+ M (A 2)+…+ M (An) или D ( A i) = D (A i).
■ Среднеквадратическое отклонение (стандартное отклонение) случайной величины X (s(X)) – квадратный корень из дисперсии, т.е. s(X) = . Эта характеристика имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.
▲ Теорема 2.28. Пусть C – постоянная величина, а X – произвольная дискретная случайная величина. Тогда: а) s(C) = 0; б) s(С· X) = | C |·s(X).
Пример 2.26. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, заданной законом распределения, показанном на рис. 2.6а.
|
|
Решение. Пользуясь определением математического ожидания дискретной случайной величины, будем иметь M (X) = x 1· p 1 + x 2· p 2 + x 3· p 3 = -1·0,6 + 1·0,3+ 2·0,1 = - 0,1. Для нахождения дисперсии воспользуемся формулой из теоремы 2.24. Для этого зададим закон распределения случайной величины X 2 (см. рис. 2.6б) и найдем M (X 2): M (X 2) = x 12· p 1 + x 22· p 2 + x 32· p 3 = 1·0,6 + 1·0,3+ 4·0,1 = 1,3. Тогда D (X) = M (X 2) – [ M (X)]2 = 1,3 – (-0,1)2 = 1,29 и s(X) = = » 1,13.
Ответ: M (X) = - 0,1; D (X) = 1,29; s(X)» 1,13.
Пример 2.27. На колесе игры в рулетку имеется 38 одинаково расположенных гнезд, которые нумеруются так: 00, 0, 1, 2, …, 35, 36. Игрок может поставить 1 доллар на любой номер. Если его номер выиграл, игрок получает 36$ (35$ выигрыша плюс 1$ ставки). Найти математическое ожидание выигрыша игрока.
Решение. Составим законом распределения (рис. 2.6в). Тогда M (X) = x 1· p 1 + x 2· p 2 = -1·(37/38) + 35·(1/38) = - 1/19. Как видим, игра не является «справедливой», игорный дом обеспечивает себе средний доход на «накладные расходы» и риск.
Ответ: -1/19.
X | -1 | X 2 | X | -1 | +35 | |||||||
p | 0,6 | 0,3 | 0,1 | p | 0,6 | 0,3 | 0,1 | p | 37/38 | 1/38 |
а) б) в)
Рис. 2.6