Законы электротехники в операторной форме

Мгновенные значения тока i (t) и напряжения u (t) на идеальных элементах электрических схем связаны между собой дифференциальной формой уравне­ний: u_R (t) = iR – для резистора; - для катушки индуктивности; - для конденсатора.

Применим к дифференциальным уравнениям преобразование Лапласа и получим соответствующее им операторные изображения: - для резистора; - для катушки индуктивности; - для конденсатора.

Операторным уравнениям будут соответствовать новые схемные представления элементов в операторной форме (см. табл.).

Здесь R, pL,1 /pC – операторные сопротивления соответственно рези­стора R, катушки L и конденсатора C. Операторное сопротивление Z (p)любого участка схемыможно получить из его комплексного сопротивления Z (jw), заме­нив в выражении множитель jw на оператор p.

Li (0), u_C (0) /p – внутренние источники ЭДС, обусловленные запасами энергии в магнитном и электрическом полях в момент коммутации при t =0. На­правления действия внутренних источников ЭДС принимаются по направлению тока i (0) для источника L i (0)и навстречу напряжению u_C (0) для источника u_C (0) /p.

Электричес-кая схема	Дифференциаль-ные урав­нения	Операторные уравнения	Операторная схема
u			I (p) U (p)
u			U (p)
u			U (p)

C учетом полученных соотношений любую электрическую схему для оригиналов функций i (t), u (t) можно заменить соответствующей ей операторной схемой для изображений функций I (p) ,U (p). Например, электрической схеме рис. 134 соответствует операторная схема, представленная на рис. 135.

Для электрической схемы рис. 134 справедливо дифференциальное урав­не­ние, составленное по 2-му закону Кирхгофа:

.

Для операторной схемы рис. 135 справедливо аналогичное уравнение, но в опе­раторной форме:

, откуда следует:

,

где – операторное сопротивление всей схемы, - сумма всех источников ЭДС контура, в том числе и внутренних.

Для сложных операторных схем справедливы 1-й и 2-й законы Кирхгофа в операторной форме:

Для расчета таких схем можно применять любые методы расчета линей­ных цепей: метод законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов и другие. Порядок составления операторных уравнений для слож­ных схем аналогичен методу, тому порядку, который применяется по этому ме­тоду для электрических схем.