Формула разложения

В результате совместного решения системы операторных уравнений получают выражение для искомой функции в операторной форме, т.е. ее операторное изображе­ние F (p). Переход от операторного изображения функ­ции к ее оригиналу, т.е. к функ­ции времени f (t), является наиболее трудо­емкой частью операторного метода расчета. На практике для этой цели применяются два способа.

Первый способ – по таблице соответствия. В этом случае оператор­ное выраже­ние искомой функции F (p)преобразуется к одному из табличных видов и по таблице соответствия определяется оригинал функции f (t). Сле­дует заметить, что такое преобразо­вание удается осуществить только для простых выражений, что существенно ограничи­вает возможности этого способа.

Второй способ – по формуле разложения - является более универ­сальным, по­этому находит применение в большинстве практических слу­чаев. Сущность этого спо­соба изложена ниже.

При решении системы операторных уравнений для искомой функ­ции получают операторное выражение F (p) в виде дроби, в числителе и знаменателе которой стоят степенные полиномы:

.

Из курса математики известно, что при выполнении условий: а) m>n иб)уравнение не содержит кратных корней, выражение = может быть представлена в виде суммы простых дробей:

,

где ,,- постоянные коэффициенты, - корни уравнения .

Для определения коэффициента умножим обе части уравнения на множитель и найдем предел выражения F (p) при . Оче­видно, что в правой части уравнения получим , а в левой – неопределен­ность, так как . Раскроем эту неопределенность по правилу Лопи­таля:

.

Следовательно, формула для произвольного коэффициента: .

Тогда выражение искомой функции получает вид:

По таблице соответствия находим, что операторному изображению соответствует оригинал , следовательно, оригинал искомой функ­ции получает вид:

=Û

Это уравнение получило название формулы разложения и исполь­зуется для перехода от операторного изображения функции к ее ори­гиналу, т.е. функции вре­мени . Порядок применения формулы разло­жения:

1) Операторное изображение искомой функции преобразуют к виду дроби =, чтобы в числителе и знаменателе ее стояли сте­пенные полиномы.

2) Приравнивают к нулю знаменатель дроби и находят корни этого урав­нения .

3) Находят выражение производной знаменателя дроби.

4) Определяют коэффициенты путем поочередной под­становки зна­чений каждого из корней в это выражение.

5) Записывают решение для искомой функции времени в виде суммы от­дельных слагаемых-экспонент, при необходимости упрощают по­лученное выражение: .

Последовательность выполнения отдельных этапов расчета переход­ных процессов операторным методом показано ниже в виде диаграммы.

Примечание. Составление системы операторных уравнений может вы­полняться по одному из двух вариантов: А - путем непосредственного пре­образования дифференциальных уравнений Кирхгофа в операторные в и B - путем составления системы уравнений по одному из методов расчета для опера­торной схемы замеще­ния.

Замечания к формуле разложения.

1) Если в исходной схеме имеются источники постоянных ЭДС Е, то уравнение может иметь один корень, равный нулю (). Под­становка этого корня в формулу разложения дает постоянную величину , которая соответ­ст­вует установившейся составляющей искомой функции.

2) Если в исходной схеме имеются источники синусоидальных ЭДС , то уравнение будет иметь два чисто мнимых и сопряжен­ных корня и . Подстановка этих корней в формулу разложения в сумме дает синусоидальную функцию времени, кото­рая соответствует установившейся состав­ляющей искомой функции:

3) Если уравнение имеет два комплексно сопряженных корня и , то подстановка этих корней в фор­мулу раз­ложения в сумме дает синусоидальную функцию с затухающей амплиту­дой:

4) Если уравнение имеет кратные корни (), то фор­мула разложения неприменима. Случай кратных корней может встретиться в практике крайне редко. Чтобы применить формулу разложения в этом случае достаточно несущественно изме­нить параметры одного из элементов схемы.

Пример. Для схемы рис. 138 с заданными параметрами элементов (Е =100 В, R =50 Ом, R 1=20 Ом, R 2=30 Ом, С =83,5 мкФ) определить ток после коммутации.

1) Определяется независимое начальное условие из расчета схемы рис. 138 в состоя­нии до коммутации:

B

2) Составляется операторная схема цепи после коммутации (рис. 139):

3) Составляется система контурных уравнений для схемы рис. 139 в операторной форме:

4) Производится решение операторных уравнений относительно ис­комой функции I ₁(p):

,

где ; ;

5) Корни уравнения :

;

6) Коэффициенты для отдельных корней p_k:

;

7) Окончательное решение для искомой функции времени:

A

14. Анализ переходных процессов в цепи R, L

Исследуем, как изменяется ток в цепи с резистором R и катушкой L в пере­ходном режиме. В качестве примера рассмотрим переходной процесс при включении цепи R, L к источнику а) постоянной ЭДС = const и б) переменной ЭДС (рис. 140).

Расчет переходного процесса выполним классическим методом.

а) Включение цепи R, L к источнику постоянной ЭДС .

Общий вид решения для тока:

Установившаяся составляющая тока: .

Характеристическое уравнение и его корни:

.

Независимое начальное условие: .

Постоянная интегрирования: .

Окончательное решение для искомой функции:

,

где − постоянная времени, численно равная времени, за которое ам­плитуда сво­бодной составляющей затухает в раза. Чем больше , тем медленнее затухает переходной процесс. Теоретически затуха­ние свободной составляющей про­должается до бесконечности. Техническое время переходного процесса определя­ется из условия, что за это время свободная составляющая уменьшается до 0,01 от ее первоначального значения:

, откуда .

На рис. 141 представлена графическая диаграмма искомой функции

Для приближенного построения графической диаграммы свободной составляю­щей можно воспользоваться таблицей значений этой функции в интервале времени :

t		0,5	1,0	1,5
		0,61	0,37	0,22	0,14	0,05	0,02

Постоянная времени может быть определена из графической диа­граммы функции как отрезок времени , по краям которого от­ношение значений функции равно раза (рис. 141).

б) Включение цепи R, L к источнику синусоидальной ЭДС

Общий вид решения для тока:

Характеристическое уравнение и его корни:

Установившаяся составляющая тока:

, откуда следует

,

где , , .

Независимое начальное условие:

Постоянная интегрирования:

, откуда

Окончательное решение для искомой функции:

Из анализа решения видно, что амплитуда свободной составляющей А зависит от начальной фазы источника ЭДС. При эта ам­плитуда имеет макси­мальное значение , при этом переходной процесс протекает с максималь­ной интенсивностью. При ампли­туда свободной составляющей равна нулю, и переходной процесс в цепи вообще отсутствует. На рис. 142 представлена графическая диаграмма иско­мой функции при , .

16. Анализ переходных процессов в цепи R, C

Исследуем характер переходных процессов в цепи R, C при включе­нии ее к источнику а)постоянной ЭДС , б)переменной ЭДС (рис. 143).

а) Включение цепи R, C к источнику постоянной ЭДС

Общий вид решения для напряжения :

.

Установившаяся составляющая напряжения: :

Характеристическое уравнение и его корни:

, где - постоянная вре­мени.

Независимое начальное условие:.

Постоянная интегрирования: .

Окончательное решение для искомой функции:

,

.

Подсчитаем баланс энергий при зарядке конденсатора.

Энергия источника ЭДС:

Энергия, выделяемая в резисторе R в виде тепла:

.

Энергия электрического поля конденсатора:

Таким образом, энергия электрического поля конденсатора составляет ровно поло­вину энергии источника и не зависит от величины сопротивления зарядного резистора R (закон половины).

Графические диаграммы функций и показаны на рис. 144.

б) Включение цепи R, C к источнику синусоидальной ЭДС .

Общий вид решения для напряжения :

Характеристическое уравнение и его корень:

Установившаяся составляющая напряжения:

, откуда

,

где , , .

Независимое начальное условие: .

Определение постоянной интегрирования:

; откуда .

Как следует из полученного уравнения, амплитуда свободной составляю­щей за­ви­сит от начальной фазы источника ЭДС. При эта амплитуда имеет максимальное значение , при этом переходной процесс протекает с макси­мальной ин­тенсивностью. При амплитуда свободной составляющей равна нулю и переходной процесс в цепи отсутствует.

17. Анализ переходных процессов в цепи R, L, C

Переходные процессы в цепи R, L, C описываются дифференциальным уравнением 2-го порядка. Установившиеся составляющие токов и напряжений определяются видом ис­точника энергии и определяются известными методами расчета установившихся режимов. Наибольший теоретический интерес пред­ставляют свободные составляющие, так как харак­тер свободного процесса ока­зывается существенно различным в зависимости от того, явля­ются ли корни ха­рактеристического уравнения вещественными или комплексными сопря­жен­ными.

Проанализируем переходной процесс в цепи R, L, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС (рис. 145).

Общий вид решения для тока: .

Установившаяся составляющая: .

Характеристическое уравнение и его корни: , откуда:

; .

Дифференциальное уравнение: .

Независимые начальные условия: ; .

Зависимое начальное условие: ; откуда .

Постоянные интегрирования определяется из совместного решения сис­темы уравнений:

, откуда .

Окончательное решение для тока:

.

Исследуем вид функции при различных значениях корней характе­ристиче­ского уравнения.

а ) Корни характеристического уравнения вещественные, не равны друг другу. Это имеет место при условии или , тогда , , причем , .

При изменении t от 0 до ∞ отдельные функции и убывают по экспоненци­альному закону от 1 до 0, причем вторая из них убывает быстрее, при этом их разность . Из этого следует вывод, что искомая функция тока в крайних точках при t = 0 и при t = ∞ равна нулю, а в проме­жутке времени 0 < t < ∞ - всегда положительна, дос­тигая при некотором зна­чении времени своего максимального значения . Найдем этот момент времени:

, или , откуда .

Графическая диаграмма функции для случая вещественных корней характери­стического уравнения показана на рис. 146.

Продолжительность переходного процесса в этом случае определяется меньшим по модулю корнем: .

Характер переходного процесса при вещественных корнях характеристи­ческого уравнения получил название затухающего или апериодического.

б) Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные. Это имеет ме­сто при соотношении параметров или , тогда

,

где - коэффициент затухания, - угловая частота собст­венных ко­лебаний.

Решение для исконной функции может быть преобразовано к другому виду:

.

Таким образом, в случае комплексно сопряженных корней характеристи­ческого уравнения искомая функция изменяется во времени по гармониче­скому закону с затухающей амплитудой . Графическая диаграмма функции показана на рис. 147.

Период колебаний , продолжительность переходного процесса определя­ется коэффициентом затухания:.

Характер переходного процесса при комплексно сопряженных корнях ха­рактери­сти­ческого уравнения получил название колебательного или периодиче­ского.

В случае комплексно сопряженных корней для определения свободной составляю­щей применяют частную форму:

или ,

где коэффициенты и или и являются новыми постоянными ин­тегри­рова­ния, ко­торые определяются через начальные условия для искомой функции.

в) Корни характеристического уравнения вещественные и равны друг другу. Это имеет место при условии или , тогда .

Полученное ранее решение для искомой функции в этом случае ста­новится не­определенным, так как числитель и знаменатель дроби превращаются в нуль. Раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя, считая , а , которая стре­мится к . Тогда получим:

.

Характер переходного процесса при равных корнях характеристического уравнения получил название критического. Критический характер переходного процесса является гра­ничным между затухающим и колебательным и по форме ничем не отличается от затухаю­щего. Продолжительность переходного про­цесса . При изменении только сопро­тивления резистора затухающий характер переходного процесса соответст­вует об­ласти значений , колебательный характер - также области значе­ний , а критический характер – одной точке . По­этому на практике случай равных корней характеристического уравнения встречается крайне редко.

В случае равных корней для определения свободной составляющей при­меняют ча­ст­ную форму:

,

где коэффициенты и являются новыми постоянными ин­тегрирования, ко­торые опре­деляются через начальные условия для искомой функции.

Критический режим переходного процесса характерен тем, что его про­должитель­ность имеет минимальное значение . Указанное свойство находит при­менение в электротехнике.