Теорема 1: ∑ сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен ∑ пределов последователей и
Доказательство.
Пусть ,
(специальное представление)
где и - элементы бесконечно-малых последовательностей.
- сходится к
Теорема 2. Разность сходящихся последовательностей равна сходящейся последовательности, предел которой равен разности пределов.
Теорема 3 Произведение сходящихся последовательностей и равно сходящейся последовательности, предел которой равен произведению пределов и .
сходится к
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела т.к.
Теорема 4. Частное двух сходящихся последовательностей и (предел второй не равен 0) определено, начиная с некоторого номера и равно сходящейся последовательности, предел которой равен частному пределов и .
Доказательство.
Пусть ,
Начиная с некоторого , элементы , можно рассматривать частное
Теорема 5. Всякая сходящаяся последовательность ограничена. Если сходящаяся последовательность имеет предел, следовательно, она ограниченна.
|
|
Доказательство.
Пусть - сходящаяся последовательность, - её предел. Зафиксируем и найдём такой , что или, что тоже самое,Обозначим через наибольшее из чисел: , т.е. ограниченная.
Замечание. Обратное не всегда выполняется ограниченная, но не сходящаяся.