Пример. (разделим числитель и знаменатель на )
Все последовательности сходящиеся
Теорема 6. Сохранение знака.
Если все элементы сходящейся последовательности , по крайней мере, с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел этой последовательности удовлетворяет тому же неравенству. (Доказывается методом от противного)
Пусть выполняется: начиная с , но
Тогда по определению сходящейся последовательности для , что или , или же
(противоречит условию теоремы).
Замечание. Если все элементы последовательности , то отсюда не следует строгое неравенство для предела, т.е. все равно
Пример. , то есть , но , т.е. не удовлетворяет
Теорема 7. Принцип двустороннего ограничения.
Пусть и - сходящиеся последовательности, .
Пусть (*), начиная с . Тогда:
Доказательство.
Пусть неравенства справедливы, начиная с некоторого , тогда начиная с того же номера справедливы и неравенства:
Зафиксируем , тогда существуют и , что
Обозначим через наибольшее, , , тогда при будут справедливы оба неравенства и, следовательно, , т.е.
|
|
Теорема 8 Признак существования предела.
Если последовательность возрастает и ограничена, то она сходится (т.е. имеет предел) (без доказательства). Аналогично и для убывающей последовательности.
Иначе: Если последовательность монотонна и ограничена, она имеет предел.