Определение предела функции по Коши и по Гейне. Геометрический смысл предела функции в точке

Односторонние пределы монотонной функции

Односторонние пределы функции одной переменной

Критерий существования предела функции

Предел функции и арифметические операции

Определение предела функции по Коши и по Гейне. Геометрический смысл предела функции в точке

План

Лекция 4. Предел функции одной переменной

Базы знаний в интеллектуальной системе

Ниже перечислены интересные особенности, которые могут (но не обязаны) быть у интеллектуальной системы, и которые касаются баз знаний.

1. Машинное обучение: Это модификация своей БЗ в процессе работы интеллектуальной системы, адаптация к проблемной области. Аналогична человеческой способности «набирать опыт».

2. Автоматическое доказательство (вывод): Способность системы выводить новые знания из старых, находить закономерности в БЗ. Некоторые авторы считают, что БЗ отличается от базы данных наличием механизма вывода.

3. Интроспекция: Нахождение противоречий, нестыковок в БЗ, слежение за правильной организацией БЗ.

4. Доказательство заключения: Способность системы «объяснить» ход её рассуждений по нахождению решения, причем «по первому требованию».

Пусть функция определена на интервале со значениями в:

.

Точка.

Определение 1 (предела функции по Коши). Говорят, что число является пределом функции в точке (когда) и обозначают:

, (1)

если для такое, что для имеет место неравенство:

. (3)

Если функция имеет предел в точке, говорят, что функция является сходящейся в точке или стремится к, когда. Это можно обозначать не только в виде (1), а и следующим образом:

.

Геометрический смысл предела функции состоит в следующем. Если в неравенстве (3) убрать модуль, оно будет иметь вид:

, (4)

откуда видно, что определяет произвольную окрестность:, в которой находятся все значения функции, для которых (неравенство (2)), т.е.. Иначе говоря, число является пределом функции, когда, если для любой -окрестности числа найдется такая -окрестность точки, что для любого аргумента функции из этой -окрестности соответствующие значения функции оказываются в -окрестности (или в -коридоре) числа (рис.1).

Для поведения функции в точке возможны два варианта:

· Значение может совпадать со значением предела (рис.2);

· функция в точке может быть вообще неопределенной (рис.3); или значение не совпадает со значением предела (именно такой случай изображен на рис.1).

Рис.1.

Рис.2.

Рис. 3.

Таким образом, для существования предела функции в точке не важно поведение функции в самой точке (об этом свидетельствует левая часть неравенства (2):, которая означает, что рассматриваются такие аргументы функции, для которых). Функция вообще там может быть неопределенной, а предел будет существовать.

Пример. Пусть (рис.4). Показать, что для:. Для того, чтобы решить поставленную задачу, надо показать, что для (надо получить формулу, которая выражает через) такое, что для выполняется неравенство:

. (5)

Иначе говоря, нам надо из неравенства (5) получить неравенство для оценки. Для этого рассмотрим (5) детально:

. (6)

Если левая часть (6) будет менше, т.е. как только, то неравенство (5) будет выполняться автоматически:

.

Таким образом понятно, что если в качестве взять просто, т.е., то для аргументов функции из этой -окрестности точки будет выполняться (5). Поскольку - произвольное, то задача решена.

Пример. Пусть. Показать, что.

В этом случае. Для того, чтобы решить поставленную задачу, надо показать, что для (надо получить формулу, которая выражает через) такое, что для выполняется неравенство:

. (7)

Иначе говоря, неравенство (7) надо решить относительно, получить для оценку сверху:

. (8)

Из (8) следует, что если, т.е., то и (7) будет выполняться.

Определение 2. Число не является пределом функции, когда, если такое, что для выполняется неравенство:

.

Задание. Выяснить, в чем состоит геометрический смысл того, что.

Задание. Показать, что для функции в точке предела не существует.

Определение 3 (предела функции по Гейне). Говорят, что число является пределом функции в точке, если для любой последовательности аргументов, для которой выполняются условия:

1) для;

2)

соответствующая последовательность значений функции является сходящейся и.

Теорема 1. Определения 1 и 3 предела функции эквивалентны, т.е. если по Коши, то и по Гейне, и наоборот. (без доказательства).

Теорема 2. Если предел функции в точке существует, то он единственный. (без доказательства).

Следствие. Пусть для функции построены две последовательности аргументов: и, для которых выполняются условия определения 3, те.е. для, и,. При этом соответствующие последовательности значений функции і такие, что, а, и. Тогда функция не имеет предела в точке.

Задание. Пользуясь следствием из предыдущей теоремы, доказать, что не имеет предела в точке.