2014-02-09
1466
Критерий существования предела функции
Предел функции и арифметические операции
Теорема 3. Пусть для функций и:,. Тогда
1.;
2.;
3..
Доказательство теоремы вытекает из аналогичной теоремы для последовательностей и определения предела функции по Гейне. Докажем для примера пункт 2.
Поскольку по условию теоремы,, то по определению предела функции по Гейне это будет означать, что для, для которой выполняются условия:
1) для;
2)
соответствующие последовательности значений функции и являются сходящимися и, а. Поскольку и - сходящиеся, то по теореме 6 лекции 2 последовательность также будет сходящейся и.
Мы получили, что для, для которой выполняются условия 1,2, соответствующая последовательность значений является сходящейся и. По определению предела функции по Гейне из этого вытекает, что, что и нужно было доказать.
Определение4. Говорят, что функция удовлетворяет условию Коши в точке, если для такое, что для выполняется неравенство:
.
Геометрически условие Коши для в точке означает, что каким бы малым не было число, всегда можно найти такую окрестность точки, что для аргументов из этой окрестности расстояние между соответствующими значениями функции будет меньше.
Условие Коши для функции в точке является аналогом фундаментальности для числовой последовательности.
Теорема 4 (критерий Коши сходимости функции в точке). Для того, чтобы функция имела предел в точке, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши в этой точке. (без доказательства).
Пусть.
Определение 5. Правой (левой) полуокрестностью точки называется интервал (), где.
Пусть функция определена в некоторой правой полуокрестности точки.
Определение 6. Число называется пределом функции в точке справа (или правосторонним пределом) и обозначается
,
если для такое, что для выполняется неравенство:
.
Определение 7. Число называется пределом функции в точке слева (или левосторонним пределом) и обозначается
,
если для такое, что для выполняется неравенство:
.
Левосторонний и правосторонний предел вместе называют односторонними пределами.
Если, то в обозначении односторонних пределов пишут не,, а
,.
Пример. Пусть. Найти односторонние пределы функции в точке.
При вычислении левостороннего (правостороннего) предела в точке поведение функции, ее значения, ее формула рассматриваются слева (справа) от.
Начнем с правостороннего предела. Любая правосторонняя окрестность точки содержит в себе только положительные значения, для которых, а, тогда
,
поскольку предел постоянной, независимо от того, куда стремится, равняется ей самой.
Любая левосторонняя окрестность точки содержит в себе только отрицательные значения, для которых, а, тогда
.
Полученные односторонние пределы имеют разные значения. График функции представлен на рис.5. Понятно, что не существует.
Теорема 5 (критерий существования предела функции). Для того, чтобы функция имела предел в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали оба односторонних предела, и они были равны.
Доказательство. Необходимость. Пусть существует. По определению предела функции по Коши это означает, что для такое, что для выполняется неравенство:. Условие (**)выполняется тогда, когда выполняется условие (*). Условие (*) означает, что, т.е., может находиться как справа (условие (**) выполняется), так и слева (условие (**) выполняется) от, (рис.6).
Рис.6.
Выполнение (**), когда, свидетельствует по определению, что, а выполнение (**), когда, свидетельствует по определению, что, что и нужно было доказать.
Достаточность. Пусть существуют. Из существования правостороннего предела по определению 6 вытекает, что для такое, что для выполняется неравенство:
.
Из существования левостороннего предела по определению 7 вытекает, что для такое, что для выполняется то же самое неравенство:
.
Обозначим:. Если удовлетворяет условию:, то он обязательно окажется или в правой, или в левой определенных выше полуокрестностях точки, а потому будет иметь место неравенство. Таким образом,
для, что будет выполняться:, а это означает, что, что и нужно было доказать.
Пример. Выяснить, имеет ли предел в точке функция (график представлен на рис.6).
Найдем односторонние пределы функции в точке:
.
Поскольку
,
то по предыдущей теореме
.
Пример. Выяснить, имеет ли предел в точке функция.
Начнем с вычисления правостороннего предела:
.
Поскольку правосторонний предел функции в точке не существует, то по предыдущей теореме не существует и.
