(1)
и непрерывны в интервале (a,b).
Введем новую неизвестную функцию z по формуле y = y1 + z, где у1 – частное решение уравнения (1), т.е.
Þ (2)
Общее решение уравнения (2) даётся формулой:
, где z1, z2, …, zn – ФСР уравнения (2),
а C1, C2, …, Cn – произвольные постоянные.
Таким образом,
(3)
Эта формула представляет общее решение уравнения (1) в области (a,b), |y|<¥, |y/|<¥, …, |y(n-1)|<¥.
Замечание 1:
Если правая часть уравнения (1) представляет собой сумму n слагаемых, т.е. , и если для i=1,2..n, то y = y1 + y2 +…+ yn есть частное решение уравнения
.
Замечание 2:
Если известно m частных решений неоднородного уравнения (1)
y1, y2,…, ym, то соответствующее однородное уравнение имеет m-1 частных решений zk = yk – y1, k=2,3…m. Если эти решения линейно независимы в (a,b), то порядок соответствующего однородного уравнения можно понизить на m-1 единиц.