Приближенные методы

Задание 3.2.

С помощью схемы единственного деления решить систему уравнений и найти главный определитель.

Приближенные методы дают возможность найти решение системы как предел бесконечного вычислительного процесса с помощью итерационного процесса. В этих методах на каждом этапе по найденным приближениям к решению строится следующее, более точное приближение. Важная черта приближенных методов – самоисправляемость. В случае сходящегося итерационного процесса арифметическая ошибка, допущенная в каком-то приближении, исправляется в следующих приближениях. Условия и скорость сходимости процесса зависят от свойств уравнений системы и выбора начальных приближений. Процесс продолжается до тех пор, пока максимум модулей разности между соседними приближениями будет не больше заданной точности.

Метод простой итерации. В этом методе исходная система уравнений Ах=В приводится к виду x=Cx+D, выбирается начальное приближение и каждое следующее приближение определяется по формуле .

Условие сходимости: или

Метод Зейделя отличается от метода простых итераций тем, что при вычислении каждого неизвестного используются полученные на этом шаге исправленные значения неизвестных.

ЗАДАЧА 3.4.

Найти решение системы уравнений задачи 10 приближенными методами.

РЕШЕНИЕ.

Приведем систему уравнений к виду x=Cx+D

Полученная система удовлетворяет условию сходимости.

Вычисления приближенными методами c точностью до 0,02 сведем в таблицу:

Метод простой итерации: x₁≈1,064; x₂≈2,036; x₃≈2,929

Метод Зейделя: x₁≈1,066; x₂≈2,048; x₃≈2,925