Интерполирование и экстраполирование функций

Приближение функций.

Задание 3.3.

Решить систему уравнений приближенными методами.

Интерполяция – одно из основных направлений обработки данных, которое заключается в нахождении значения таблично заданной функции в тех точках внутри данного интервала, где она не задана. Экстраполяция – восстановление функции в точках за пределами заданного интервала. Такая задача возникает, например, при прогнозировании.

При интерполяции и экстраполяции строится интерполяционная функция L(x), приближённо заменяющая исходную f(x), заданную таблично, и проходящая через все заданные точки – узлы интерполяции. Обычно в качестве функции L(x) выбирают полином, хотя через заданные точки можно провести любое количество функций.

Метод Лагранжа заключается в построении полинома n -порядка при n+1 узле интерполяциина отрезке [ x₀,x_n ] по формуле: L(x)=y₀ Q₀(x)+…+ y_n Q_n(x),

где

Qj(x_i)=0 при i¹j и Qj(x_i)=1 при i=j

Погрешность интерполяции можно оценить по формуле

ЗАДАЧА 4.1. Найти значение f(x) в заданной точке, если задано её значение в четырёх узлах интерполяции.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА.

ДАНО. x₀, x₁, x₂, x₃ – узлы интерполяции, х – заданное значение аргумента,

y₀, y₁, y₂, y₃ – значения функции в узлах.

НАЙТИ. f(x)

СВЯЗЬ. + + ++

Задание 4.1. Дана таблично заданная функция. Найти y при x= 4

X
Y	-1	-3

ЗАДАЧА 4.2.

Вычислить с помощью формулы Лагранжа для трех узлов интерполяции. Определить погрешность вычисления.

РЕШЕНИЕ.

В качестве узлов интерполяции выберем такие (близкие к заданному), в которых значения функции можно вычислить точно: х₀=100; х₁=121; х₂=144

x	100	121	144
y	10	11	12

Для оценки погрешности вычисления по трем точкам необходимо найти третью производную функции

Следовательно, в полученном результате 2 верных десятичных знака

y (117)≈10,82

– результат, полученный на калькуляторе.

Задание 4.2. Вычислить с помощью формулы Лагранжа значение у для трех узлов интерполяции. Определить погрешность вычисления.

1) 2) y=38³

Метод Ньютона заключается в построении полинома n -порядка при n+1 узле интерполяциина отрезке [ x₀,x_n ], используя конечные разности.

Конечной разностью первого порядка называется разность между значениями функции в соседних узлах интерполяции: Из конечных разностей первого порядка можно образовать конечные разности второго порядка и т.д.

Общая формула для вычисления конечной разности k-ого порядка в i-ой точке:

Можно заметить, что при наличии n+1 точки конечную разность первого порядка можно вычислить только для первых n точек, конечную разность k - го порядка только для n-k+1 точек, а конечную разность n-го порядка – только для нулевой точки.

Обычно метод Ньютона используется для равномерно расположенных узлов интерполяции, т.е.

Для интерполяции в начале таблицы и экстраполяции назад удобно использовать первую интерполяционную формулу Ньютона:

На практике часто используют первую формулу Ньютона в другом виде:

,
где

Для интерполяции в конце таблицы и экстраполяции вперед рекомендуется использовать вторую интерполяционную формулу Ньютона:

На практике часто используют вторую формулу Ньютона в другом виде:

,
где

Погрешность интерполяции можно оценить по формуле

Т.к. обычно производную n-го порядка найти трудно, то её можно выразить через конечную разность

Обозначим . Тогда

ПРИМЕЧАНИЕ.

Чтобы получить более точное решение (уменьшить погрешность), в качестве x₀ и x_n выбирают узлы, ближайшие к искомой точке.

ЗАДАЧА 4.3.

1) Функция задана таблично:

x	2,0	2,1	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6
y	1,1	0,9	0,85	0,7	0,63	0,5	0,3

Найти значение функции и оценить погрешность.

1) у(2,05) 2) y(2,23) 3) y(2,38)

РЕШЕНИЕ.

Составим таблицу конечных разностей:

x 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

y 1,1 0,9 0,85 0,7 0,63 0,5 0,3

∆ y -0,2 -0,05 -0,15 -0,07 -0,13 -0,2

∆2 y 0,15 -0,1 0,08 -0,06 0,07

∆3 y -0,25 0,02 -0,14 -0,13

h=0,1

1) y (2,05)

Заданное значение аргумента находится в начале таблицы, поэтому используем первую интерполяционную формулу Ньютона. x₀=2,0

q=(2,05-2,0)/0,1=0,5

Используем для интерполяции только 3 первые точки, т.е. n=2.

у(2,05)=1,1+(-0,2) · 0,5+0,15 · 0,5 · (0,5–1)/2=0,98125

Из таблицы находим, что М₃=0,25. Тогда

2) y (2,23)

x₀=2,2

3) Используем вторую интерполяционную формулу.