Объем
Понятие объема вводится аналогично тому, как это делалось для площади, поэтому похожие моменты в этом параграфе будут излагаться конспективно. Известным считается понятие объема элементарной области, т.е. для области, ограниченной многогранником (сводится к объему тетраэдра, не обязательно правильного). В дальнейшем эту область так же будем называть многогранником. Объединение конечного числа непересекающихся многогранников также будет называться многогранником (рис. 2.27).
Рис. 2.27
Далее рассматривается класс пространственных областей, которые ограничены (содержаться в некотором шаре) и для которых существует хотя бы один вписанный многогранник. Вписанные многогранники будем обозначать Pi описанные Pe. Объем обозначается m P. Объем обладает свойством монотонности, таким образом, всегда m Pi £ m Pe.
Нижний объем: m D = sup m Pi, где точная грань берется по всевозможным вписанным многогранникам.
Верхний объем: = inf m Pe, где точная грань берется по всевозможным описанным многогранникам.
Аналогично тому, как это делалось площадей, доказывается неравенство m D £.
Определение. Область называется кубируемой, если совпадают нижний и верхний объемы = m D. Эта общая величина называется объемом и обозначается m D.
Теорема (Критерий кубируемости). Для того, чтобы область D была кубируемой необходимо и достаточно, чтобы "e>0$ Pe, Pi: m Pe - m Pi < e.
Теорема (Второй критерий кубируемости). Для того, чтобы область D была кубируемой необходимо и достаточно, чтобы "e>0$ кубируемые области De, Di (не обязательно многогранники) такие, что m De - m Di <e.
Для объема справедливы свойства монотонности, аддитивности.
Пример. Цилиндр является кубируемым телом, если в его основании лежит квадрируемая фигура и его объем равен Sh (рис. 2.28).
Рис. 2.28
Это следует из критерия кубируемости. В качестве вписанных и описанных многогранников выбираются призмы с той же образующей, что и у цилиндра, в основании которых лежат вписанные и описанные многоугольники для фигуры, лежащей в основании цилиндра.
В частности кубируемым будет «ступенчатое тело» (рис. 2.29), если в основании каждой составляющей лежит квадрируемая фигура.
Рис. 2.29
Теорема. Если f (x)³ 0 непрерывна на [ a,b ], то тело, граница которого, полученна вращением графика функции вокруг оси x (рис. 2.30, слайд «Тело вращения»), кубируемо и его объем равен
Рис. 2.30
Тело вращения
Доказательство. Для заданногоeрассмотрим достаточно мелкое разбиение D={ a=x 0 <x 1 <…<xn=b }идва ступенчатых тела на основании сумм Дарбу исходной функции, составленных из круговых цилиндров высотой xk+ 1 - xk и радиусов mk=, Mk= (Рис. 2.31).Объем этих тел будут равны s (F, D), S (F, D), где F (x)=p f 2(x).
Рис. 2.31
Одна из этих кубируемых областей будет вписана в тело вращения, а другая описана. Разность объемов можно сделать сколь угодно малой, что следует из интегрируемости функции F (x).
Справедлива более общая теорема (без доказательства).
Теорема. Если область D проектируется на отрезок [ a,b ] оси x и любое сечение этой области плоскостью перпендикулярной оси x квадрируемо (рис. 2.32), а площадь этого сечения S (x) является интегрируемой функцией, то исходная область кубируема и ее объем равен
m D=
Рис. 2.32