Лекция 12. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Задания для самостоятельной работы
Найти общий интеграл уравнений
11.1. . 11.2. .
11.3.
11.4. . 11.5. .
11.6. . 11.7. .
11.8. .
11.9. .
Найти решения уравнений, удовлетворяющие начальным условиям
11.10. .
11.11. .
11.12. .
11.13. .
11.14. .
11.15. .
Рассмотрим струну, под которой понимается тонкая нить, не сопротивляющаяся изгибу, длиной l. Пусть эта струна в плоскости (x,u) совершает малые поперечные колебания около своего положения равновесия, совпадающего с осью Ох, то есть все точки струны движутся перпендикулярно оси Ох. Обозначим через u(x,t) отклонение от положения равновесия точки струны с абсциссой х в момент времени t. Так как струна не сопротивляется изгибу, то ее натяжение в точке х в момент времени t направлено по касательной к струне в точке х. Любой участок струны (а,b) после отклонения от положения равновесия в предположении о пренебрежении величинами высшего порядка малости по сравнению с , не изменит своей длины
(12.1)
и, следовательно, величина натяжения будет постоянной Т 0, не зависящей от х и t, так как закон Гука гласит: изменение натяжения пропорционально изменению длины выделенного участка.
|
|
Составим уравнение движения струны. На элемент струны (х, х+ Δ х) действуют силы натяжения и внешняя сила , действующая на струну в точке х в момент времени t и направленная перпендикулярно оси Ох.
Сумма сил, действующих на струну, согласно закону Ньютона должна быть равна произведению массы элемента струны на его ускорение
, (12.2)
где - масса элемента струны (х, х+ Δ х); - единичный вектор, направленный вдоль оси u.
Проектируя векторное равенство (12.2) на ось u, получим
, (12.3)
но в рамках приближения
,
поэтому выражение (12.3) принимает вид
и при , получим
. (12.4)
Это и есть уравнение малых поперечных колебаний струны. Если F(x,t)¹ 0, то колебания струны будут вынужденными, а если F(x,t)= 0, то колебания струны будут свободными.
Если , то уравнение (12.4) принимает вид
, (12.5)
где .
Уравнение (12.5) называется одномерным волновым уравнением.