Уравнение теплопроводности было получено при решении задачи о распространении тепла в неком стержне с плотностью r (x), удельной теплоемкостью с (x) и коэффициентом внутренней теплопроводности k. Вывод этого уравнения базируется на законе Фурье, согласно которому количество тепла, проходящее за время ∆ t через малую площадку ∆ S, лежащую внутри рассматриваемого тела, определяется формулой
, (12.9)
где n – нормаль к площадке, направленная в сторону передачи тепла, k (x,u) - коэффициент внутренней теплопроводности, u (x,t) – температура тела в точке в момент времени t.
Предположим, что тело изотропно в отношении теплопроводности. Тогда k (x,u) не зависит от направления площадки. Для вывода уравнения, которому удовлетворяет температура u (x,t), выделим внутри тела объем W, ограниченный поверхностью S. Согласно закону Фурье количество тепла, втекающего в W через поверхность S за промежуток времени [ t 1, t 2], равно
.
Если F (x,t) – плотность тепловых источников, то количество тепла, образованное за их счет в W за указанный промежуток времени равно
.
Общее количество притекшего в W за время от t 1 до t 2 тепла можно подсчитать также и через приращение температуры:
,
следовательно, можно записать
, (12.10)
(при этом предполагается, что подинтегральная функция непрерывна). В силу произвольности W и промежутка времени [ t 1, t 2] из выражения (12.10) вытекает равенство
, (12.11)
т.к. , где ∆ - оператор Лапласа, то уравнение (12.11) можно записать в виде
, (12.12)
где .
Уравнение (12.11) или (12.12) называются уравнением теплопроводности. Для одномерного случая при f (x,t) = 0 оно имеет вид
. (12.13)
Вывод уравнения диффузии вещества в неподвижной среде, занимающей ограниченную область с границей Г, если задана плотность источников F(x,t) (диффузия происходит с поглощением, например, частицы диффундирующего вещества вступают в химическую реакцию с веществом среды), причем скорость поглощения в каждой точке пространства пропорциональна плотности диффундирующего вещества, основывается на законе Нэрнста, согласно которому количество вещества, проходящее за малый промежуток времени через малую площадку , равно
,
где D(x) – коэффициент диффузии, n – нормаль к элементу , направленная в сторону перемещения вещества. Пусть - коэффициент плотности среды.
Выделим некоторый объем с границей S и составим баланс количества вещества, пришедшего в за промежуток времени .
Количество вещества, пришедшего в через границу S, согласно закону Нэрнста равно
.
Количество вещества, образовавшегося в за счет источников, равно
.
Количество вещества в уменьшилось на величину
за счет поглощения среды (q(x) – коэффициент поглощения). Поскольку приращение количества вещества в за промежуток равно также
,
то
.
В силу произвольности объема и промежутка из полученного равенства вытекает
. (12.14)
Это и есть классическое уравнение диффузии.