Характеристики генеральной совокупности обычно неизвестны. Задача заключается в их оценке по характеристикам выборочной совокупности.
Характеристики генеральной совокупности принято называть параметрами,а выборочной совокупности — оценками.
Пусть искомый параметр генеральной совокупности есть q0, а на основе выборки объема n определяется оценка q.
Для того чтобы выборочная оценка давала хорошее приближение оцениваемого параметра, она должна удовлетворять определенным требованиям (несмещенности, эффективности и состоятельности).
Несмещенность оценок. Оценка называется несмещенной,если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т.е. .
Если это не так, то оценка называется смещенной,а разность называется смещением.
Выборочная средняя является несмещенной оценкойгенеральной средней m, так как . Тем не менее оценка не единственная возможная несмещенная оценка m.
Выборочная дисперсия DX является смещенной оценкойгенеральной дисперсии , при этом
|
|
В качестве несмещенной оценки генеральной дисперсии используется величина (исправленная дисперсия)
Величина S называется стандартным отклонением случайной величины в выборке.
Эффективность оценок. Несмещенная оценка q называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию по сравнению с другими выборочными оценками, т.е. .
Предположим, что имеются две оценки параметра q0, рассчитанные на основе одной и той же информации (рис. 2). Оценка А является более эффективной, чем оценка В.
Выборочная средняя является эффективной оценкой генеральной средней, т.е. имеет наименьшую дисперсию в классе несмещенных оценок.
Состоятельность оценок. Оценка q называется состоятельной,если при n ® ¥ она стремится по вероятности к оцениваемому параметру q0, т.е.
.
Иначе говоря, состоятельной называется такая оценка, которая дает точное значение для большой выборки независимо от входящих в нее конкретных наблюдений.
На рисунке показано, как при различном объеме выборки может выглядеть распределение вероятностей (состоятельная оценка, смещенная на малой выборке).
Теорема Чебышева закона больших чисел утверждает, что
,
то есть выборочная средняя является состоятельной оценкой генеральной средней m.