Отличительной чертой фильтров Чебышева является наименьшая величина максимальной ошибки аппроксимации в заданной полосе частот. В действительности ошибка аппроксимации представляется в заданной полосе равновеликими пульсациями, т. е. она флуктуирует между максимумами и минимумами равной величины. В зависимости от того, где минимизируется ошибка аппроксимации — в полосе пропускания или в полосе непропус- кания,— различают фильтры Чебышева типа I и II.
Фильтры Чебышева типа I имеют только полюсы и обеспечивают равновеликие пульсации амплитудной характеристики в полосе пропускания и монотонное изменение ослабления в полосе непропускания. Квадрат амплитудной характеристики фильтра Чебышева типа I n-го порядка описывается выражением
(13.1)
где Tn(Ω) - полином Чебышева n-го порядка, по определению равный:
(13.2)
а - параметр, характеризующий пульсации в полосе пропускания.
Свойство оптимальности фильтров Чебышева типа I порядка n заключается в том, что не существует какого-либо другого фильтра n-го порядка, содержащего только полюсы, который имел бы такие же или лучшие характеристики и в полосе пропускания, и в полосе непропускания. Другими словами, если какой-либо фильтр n-го порядка, содержащий только полюсы, имеет в полосе пропускания лучшие характеристики по сравнению с фильтром Чебышева типа I порядка n, то в полосе непропускания характеристики этого фильтра наверняка будут хуже, чем у фильтра Чебышева.
Фильтры Чебышева типа II (иногда их называют также обратными фильтрами Чебышева) обеспечивают монотонное изменение ослабления в полосе пропускания (максимально гладкое при Ω = 0) и равновеликие пульсации в полосе непропускания. Нули фильтров этого типа располагаются на мнимой оси в s-плоскости, а полюсы — в левой полуплоскости. Квадрат амплитудной характеристики фильтров Чебышева типа II порядка n можно представить следующим образом:
(13.3)
где Ωr — наинизшая частота, на которой в полосе непропускання достигается заданный уровень ослабления.
На рис. 13.1 показано поведение квадрата амплитудной характеристики для фильтров Чебышева типа I и II при четных и нечетных n. Во всех этих фильтрах граница полосы пропускания находится при Ω = 1, где | H (1) |2 = 1/(1 + 2), а граница полосы непропускания расположена при Ω = Ωr, где | H (Ωr) |2 = 1/A2.
Фильтр Чебышева типа I имеет простые полюсы в точках, где k = 1, 2,..n, которые лежат в s-плоскости на эллипсе, уравнение которого имеет вид:
(13.4)
Здесь
(13.5)
Рис.13.1. Общий вид функции квадрата амплитудной характеристики аналоговых фильтров Чебышева нижних частот типа I и II.
а — фильтр Чебышева типа I;
б — фильтр Чебышева типа II.
(13.6)
и
(13.7)
Фильтры Чебышева типа I I имеют и полюсы, и нули. Нули являются чисто мнимыми и находятся в точках:
, где k =1,2…..n. (13.8)
(Отметим, что при нечетных п нуль с номером k == (n +1)/2 находится на бесконечности.) Полюсы фильтров типа II можно найти, вычислив координаты особых точек знаменателя передаточной функции.
Простые преобразования дают для полюсов (k = 1, 2,...) следующие выражения:
(13.9)
где
(13.10)
причем
(13.11)
и
(13.12)
Фильтры Чебышева типа I и II полностью определяются любыми тремя из следующих четырех параметров:
1) n (порядок фильтра);
2) (параметр, характеризующий пульсации в полосе пропускания, см. рис. 13.1);
3) (наинизшая частота, на которой в полосе непропускания достигается заданное ослабление, см. рис. 13.1);
4) А (параметр, характеризующий ослабление в полосе непропускания, см. рис. 13.1).
Порядок фильтра Чебышева n, необходимый для обеспечения
заданных значений , А и , определяется с помощью формулы
(13.13)
где
(13.14)
Пример 2. Рассчитать фильтр Чебышева минимального порядка, удовлетво- ряющий следующим условиям:
-пульсации в полосе пропускания равны 2 дБ;
-переходное отношение ;
ослабление в полосе непропусканпя 30 дБ.
Решение. Используя рис. 13.1, найдем параметры фильтра , А и по заданным характеристикам
Затем по формуле (13.14) получим g = 41,33, а по формуле (13.13) вычислим значение n = 6,03.
На рис. 4.19 и 4.20 представлены основные характеристики (амплитудная в логарифмическом масштабе, фазовая и групповой задержки) фильтров Чебышева типа I и II, удовлетворяющие условиям, перечисленным в примере 2. Оба фильтра имеют частоту среза = 1000рад/с (т. е. == 5000 Гц). Из сопоставления рис. 4.19 и 4.20 видно, что поведение характеристики групповой задержки в полосе пропускания для фильтра типа II вообще значительно лучше, чем для фильтра типа I. Это связано с тем, что нули фильтров Чебышева типа II располагаются в s-плоскости на оси jΩ, тогда как все нули фильтров Чебышева типа I находятся на бесконечности.