Значительная часть теории расчета цифровых БИХ-фильтров (т.е. фильтров с бесконечной импульсной характеристикой) требует понимания методов расчета фильтров непрерывного времени. Поэтому в данном разделе будут приведены расчетные формулы для нескольких стандартных типов аналоговых фильтров, включая фильтры Баттерворта, Бесселя и Чебышева типа I и II. Подробный анализ достоинств и недостатков способов аппроксимации заданных характеристик, соответствующих этим фильтрам, можно найти в ряде работ, посвященных методам расчета аналоговых фильтров, поэтому ниже будут лишь кратко перечислены основные свойства фильтров каждого типа и приведены расчетные соотношения, необходимые для получения коэффициентов аналоговых фильтров.
Пусть нужно рассчитать нормированный фильтр нижних частот с частотой среза, равной Ω = 1 рад/с. В качестве аппроксимируемой функции будет, как правило, использоваться квадрат амплитудной характеристики (исключением является фильтр Бесселя). Будем считать, что передаточная функция аналогового фильтра является рациональной функцией переменной S следующего вида:
(14.1)
Фильтры Баттерворта нижних частот характеризуются тем, что имеют максимально гладкую амплитудную характеристику в начале координат в s-плоскости. Это означает, что все существующие производные от амплитудной характеристики в начало координат равны нулю. Квадрат амплитудной характеристики нормированного (т. е. имеющего частоту среза 1 рад/с) фильтра Баттерворта равен:
(14.2)
где n — порядок фильтра. Аналитически продолжая функцию (14.2) на всю S-плоскость, получим
(14.3)
Все полюсы (14.3) находятся на единичной окружности на одинаковом расстоянии друг от друга в S-плоскости. Выразим передаточную функцию Н (s) через полюсы, располагающиеся в левой полуплоскости S:
, где (14.4)
, где k =1,2…..n (14.5)
а k0 — константа нормирования. Используя формулы (14.2) и (14.5), можно сформулировать несколько свойств фильтров Баттерворта нижних частот.
Свойства фильтров Баттерворта нижних частот:
1. Фильтры Баттерворта имеют только полюсы (все нули передаточных функций этих фильтров расположены на бесконечности).
2. На частоте Ω=1 рад/с коэффициент передачи фильтров Баттерворта равен (т. е. на частоте среза их амплитудная характеристика спадает на 3 дБ).
3. Порядок фильтра n полностью определяет весь фильтр. На практике порядок фильтра Баттерворта обычно рассчитывают из условия обеспечения определенного ослабления па некоторой заданной частоте Ωt > 1. Порядок фильтра, обеспечивающий на частоте Ω= Ωt< уровень амплитудной характеристики, равный 1/А, можно найти из соотношения
(14.6)
Рис. 14.1. Расположение полюсов аналогового фильтра Баттерворта нижних частот.
Рис. 14.2- Амплитудная и фазовая характеристики, а также характерис- тика групповой задержки аналогового фильтра Баттерворта нижних частот.
Пусть, например, требуется на частоте Ωt = 2 рад/с обеспечить ослабление, равное А = 100. Тогда
Округлив n в большую сторону до целого числа, найдем, что заданное ослабление обеспечит фильтр Баттерворта 7-го порядка.
Пример 1. Рассчитать фильтр Баттерворта с ослаблением не менее 66 дБ на частоте Ω = 2000 π рад/с и с ослаблением 3 дБ на частоте Ω = 1000 π рад/с.
Решение. Используя в качестве расчетных характеристик 1/A == 0,0005 (что соответствует ослаблению на 66 дБ) и Ωt= 2, получим n == 10,97. Округление дает n = 11. На рис. 14.1 показано расположение полюсов рассчитанного фильтра Баттерворта в s-плоскости. Амплитудная (в логарифмическом масштабе) и фазовая характеристики, а также характеристика групповой задержки этого фильтра представлены на рис. 14.2.