Вектора. Длина вектора

Пусть вектор составляет угол с осью .

Проекцией вектора на ось называется число, равное длине вектора (рис.3.1), взятой со знаком «плюс», если направление вектора совпадает с направлением оси и со знаком «минус» в противном случае.

Проекцию вектора на ось можно вычислить по формуле:

.

Декартовыми прямоугольными координатами вектора называются его проекции на соответствующие координатные оси .

Вектор с координатами записывают в виде или , где — единичные векторы координатных осей соответственно. Длина вектора определяется по формуле:

.

Если вектор задан точками и , то его координаты вычисляются по формулам:

.

Пример 3.2. Даны две точки и . Найдите координаты и длину вектора .

По условию задачи , , , , , . Значит, .

.

Пример 3.3. Даны два вектора и . Найдите координаты и длину вектора .

; ;

;

.

Совместим параллельным переносом начало некоторого вектора с началом координат прямоугольной системы координат . Пусть — углы, которые образует вектор с осями координат соответственно (рис.3.2). Направление вектора определяется с помощью направляющих косинусов , , , для которых справедливы равенства:

, .

§ 3. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (см. рис.3.3):

.

Из рис. 3.3 видно, что .

Поэтому или . (*)