Теорема. Каждая прямая на плоскости определяется линейным уравнением первой степени с двумя неизвестными. Обратно: каждое линейное уравнение первого порядка с двумя неизвестными определяет некоторую прямую на плоскости.
Пример 4.1. Постройте прямую, заданную уравнением .
Для построения прямой достаточно знать координаты двух её произвольных точек. Полагая в уравнении прямой, например, , получим . Имеем точку . Полагая , получим . Отсюда вторая точка . Результаты вычислений можно занести в таблицу:
-4 | -2 |
Осталось построить точки и провести через них прямую (см. рисунок).
1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором:
, (1)
где — нормальный вектор прямой, — координаты данной точки.
Заметим, что — нормальный вектор прямой ( перпендикулярен прямой).
2. Общее уравнение прямой:
1.
, (2)
где — постоянные коэффициенты, причём и одновременно не обращаются в нуль .
Частные случаи этого уравнения:
|
|
— прямая проходит через начало координат;
— прямая параллельна оси ;
— прямая параллельна оси ;
— прямая совпадает с осью ;
— прямая совпадает с осью .
3. Уравнение прямой в отрезках:
, (3)
где и — длины отрезков (с учётом знаков), отсекаемых прямой на осях и соответственно.
Направляющим вектором прямой называется всякий ненулевой вектор, параллельный этой прямой.
4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным направляющим вектором (каноническое уравнение прямой на плоскости):
, (4)
где — направляющий вектор прямой, — координаты данной точки.
5. Параметрические уравнения прямой:
(5)
где — направляющий вектор прямой, — координаты точки, принадлежащей данной прямой.
6. Уравнение прямой, проходящей через данную точку и с заданным угловым коэффициентом:
, (6)
где — угловой коэффициент прямой, — координаты данной точки.
7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:
, (7)
где — угловой коэффициент прямой (т.е. тангенс угла , который прямая образует с положительным направлением оси ), — ордината точки пересечения прямой с осью .
8. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и , где имеет вид:
. (8)
В случае уравнение прямой примет вид . В случае уравнение прямой: .
Пример 4.2. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки:
а) , ; б) , .
а) Используем уравнение (8). Полагая в нём , , , , получим
-3 | ||
.
Построим эту прямую. Составим таблицу:
Ответ: — уравнение прямой.
б) Решаем аналогично: . Так как , то есть уравнение прямой (см.п.8 параграфа). Для наглядности построим точки и прямую в системе .
|
|
Ответ: — уравнение прямой.
Пример 4.3. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .
Из уравнения прямой выпишем координаты нормального вектора: . Так как прямые параллельны, то в качестве нормального вектора для искомой прямой примем этот же вектор. Имеем, . Воспользуемся формулой (1):
— уравнение искомой прямой.
Ответ: — уравнение искомой прямой.