Точечные и интервальные оценки параметров

В инженерной практике для различных целей используют точечные и интервальные оценки параметров. Точечной на­зывают такую оценку, которая представляется одним числом, т.е. точкой на числовой оси. Интервальной называют оценку, пред­ставленную интервалом значений.

К оценкам предъявляются следующие основные требования:

а) с увеличением числа наблюдений оценка параметра должна приближаться к истинному его значению. Оценку, от­вечающую этому свойству называют состоятельной;

б) вычисляя оценку параметра, мы должны быть уверены в том, что заведомо не совершаем ошибку в сторону уменьшения или увеличения оценки, т.е. должны быть уверены в отсутствии систематической ошибки. Оценка, отвечающая этому свойству, называется несмещенной;

в) расхождения между опенками параметра, подсчитанными по результатам n наблюдений, взятых из любого участка теоре­тически возможного числа наблюдений N, должны быть мини­мальными. Другими словами, дисперсия оценки должна быть минимальной. Оценку, отвечающую этому свойству, называют эффективной.

Определение точечных оценок математических ожиданий и средних отклонений параметров.

Пусть произведено n наблюдений параметра х и получены значения Определим точечную оценку для матема­тического ожидания и среднего квадратичного отклонения этого параметра, причем оценки должны отвечать указанным выше требованиям.

Из теории вероятностей известно, что такие оценки могут быть подсчитаны с помощью выражений

(2.20)

(2.21)

Здесь, а при необходимости и далее, оценки будут помечаться, где это важно, где это необходимо подчеркнуть, обозначением параметра или характеристики σ(х)_в, m(х)_в или – выборочная характеристика, или σ(х)_г.с., m(х)_г.с.- для генеральной совокупности. Иногда в литературе выборочную σ(х)_в обозначают как S_в. Величину (n – 1) в знаменателе формулы (2.21) называют числом степеней свободы.