Математических моделей

Основной путь исследования системы – это построение моде­ли. Моделирование – процесс, посредством которого исследова­тель стремится понять определенные аспекты реальной жизни. Модель не является точной копией реальности, а представляет со­бой упрощенный ее вариант. Один и тот же объект в зависимости от целей исследования может иметь разные модели.

Модели должны быть по возможности простыми, од­нако они должны включать все самые важные части исследуе­мой системы (оригинала), самые важные функции и самые важ­ные связи, внутрисистемные и внешние. Но таких элементов, выбранных для последующего детального исследования, долж­но быть ограниченное, небольшое количество, иначе будет трудно вести анализ.

Для того чтобы найти главные части и связи системы, следу­ет сосредоточить внимание на трех важных моментах:

1.Определить главную цель системы, ответив на вопросы о том, зачем существует система и какие главные функции она выполняет.

2.Понять работу системы и определить главные части (под­системы), участвующие в выполнении главной функции.

3.Установить важные связи между этими частями.

При этом связи и части системы будут действительно важ­ными, если после их исключения из нее система «рассыпается». И наоборот, если мы исключили какую-то часть или связь и ничего не изменилось, то это не главная часть или, соответствен­но, не важная связь.

Следует отметить, что рецептов построения хорошей модели не существует. Кроме того, следует иметь в виду, что модель, успешно применяемая в одних случаях, в других может оказаться бесполезной. Культура моделирования требует, чтобы для каждой модели был указан перечень условий, при которых данная модель верна. Модель должна быть адекватной, работо­способной, т.е. давать удовлетворительные ответы на поставленные вопросы. Если модель не дает ответ на по­ставленный вопрос, то она уточняется или заменяется новой.

Например, приведем советы ака­демика Ю.И. Неймарка:

1.Чем проще модель, тем меньше возможность ошибочных выводов.

2.Модель должна быть простой, но не проще, чем это воз­можно.

3.Пренебрегать можно чем угодно, нужно только знать, как это повлияет на решение.

4.Модель должна быть грубой: малые поправки не должны кардинально менять ее поведение.

5.Модель и расчет не должны быть точнее исходных данных.

Основные принципы построения матема­тической модели

1. Необходимо соизмерять точность и подробность модели, во-первых, с точностью тех исходных данных, которыми располагает исследователь, и, во-вторых, с теми результатами, которые требуется получить.

2. Математическая модель должна отражать существенные черты иссле­дуемого явления и при этом не должна его сильно упрощать.

3. Математическая модель не может быть полностью адекватна реально­му явлению, поэтому для его исследования лучше использовать не­сколько моделей, для построения которых применены разные матема­тические методы. Если при этом получаются сходные результаты, то исследование заканчивается. Если результаты сильно различаются, то следует пересмотреть постановку задачи.

4. Любая сложная система всегда подвергается малым внешним и внут­ренним воздействиям, следовательно, математическая модель должна быть устойчивой, т.е. сохранять свои свойства и структуру при этих воздействиях.

Классификация математических моделей

По числу критериев эффективности математические модели делятся на однокритериальные и многокритериальные (рис. 1). Многокритериальные математические модели содержат два и более критерия.

По учету неизвестных факторов математические модели делятся на де­терминированные, стохастические и модели с элементами неопределен­ности.

В стохастических моделях неизвестные факторы – это случайные величины, для которых известны функции распределения и различные статистические характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение и т. п.). Среди стохастических моделей можно выделить:

· модели стохастического программирования, в которых либо в целе­вую функцию, либо в ограничения входят случайные величины;

· модели теории случайных процессов, предназначенные для изучения процессов, состояние которых в каждый момент времени является слу­чайной величиной;

· модели теории массового обслуживания, в которой изучаются много­канальные системы, занятые обслуживанием требований.

Также к стохас­тическим моделям можно отнести модели теории полезности, поиска и принятия решении.

Для моделирования ситуаций, зависящих от факторов, для которых не­возможно собрать статистические данные, либо значения которых не опреде­лены, используются модели с элементами неопределенности. В моделях теории игр задача представляется в виде игры, в которой участвуют несколько игроков, преследующих разные цели, например организацию предприятия в условиях конкуренции.

В имитационных моделях реальный процесс разворачивается в ма­шинном времени, и прослеживаются результаты случайных воздействий на него, например организация производственного процесса.

В детерминированных моделях неизвестные факторы не учитываются. Несмотря на кажущуюся простоту этих моделей, к ним сводятся многие практические задачи, в том числе большинство социально-экономических задач. По виду целевой функции и ограничений детерминированные модели де­лятся на линейные, нелинейные, динамические и графические.

В линейных моделях целевая функция и ограничения линейны по управляющим переменным.

Для линейных моделей любого вида и достаточно большой размерности известны стандартные методы решения.

Нелинейные модели – это модели, в которых либо целевая функция, либо какое-нибудь из ограничений (либо все ограничения) не линейны по управляющим переменным. Для нелинейных моделей нет единого мето­да расчета.

В динамических моделях в отличие от статических линейных и нели­нейных моделей учитывается фактор времени. Критерий оптимальности в динамических моделях может быть самого общего вида (и даже вообще не быть функцией), однако для него должны выполняться определенные свойства. Расчет динамических моделей сложен, и для каждой конкрет­ной задачи необходимо разрабатывать специальный алгоритм решения,

Графические модели используются тогда, когда задачу удобно пред­ставить в виде графической структуры.