2015-01-30
5665
Пример 2.1 Магазин в целях рекламы нового товара проводит лотерею, в которой 1 главный приз, 5 вторых призов, 100 третьих призов и 1000 четвертых призов. В конце рекламного дня выяснилось, что лотерейные билеты получили 10000 покупателей. По правилам розыгрыша, после извлечения выигрышного билета он не возвращается в урну, и покупатель не может получить более одного выигрыша. Чему равна вероятность того, что покупатель, который приобрел рекламируемый товар: а) выиграет первый приз; б) выиграет хотя бы один приз; в) не выиграет ни одного приза?
Решение. Определим событие А: «Покупатель выиграл первый приз». Согласно условию задачи в лотерее участвовало 10000 покупателей, отсюда общее число испытаний N = 10000, а число исходов, благоприятствующих событию А, M = 1. Все исходы являются равновозможными, единственно возможными и несовместными элементарными событиями. Следовательно, по формуле классической вероятности: P (A)=0,0001
Соответственно, определим событие В: «Покупатель выиграл любой приз». Для этого события число благоприятствующих исходов M = 1 + 5 + 100 + 1000 = 1106.
|
|
|
.
Событие «Покупатель не выиграет ни одного приза» - противоположное событию В: «Покупатель выиграет хотя бы один приз», поэтому обозначим его как 
. По формуле 2.3 найдем:
.
Ответ. Вероятность того, что покупатель выиграет первый приз, равна 0,0001; любой приз - 0,1106; ни одного приза - 0,8894.
Пример 2.2. Структура занятых в региональном отделении крупного банка имеет следующий вид:
| Женщины | Мужчины | |
| Администрация Операционисты |
Если один из служащих выбран случайным образом, то какова вероятность, что он: 1. Мужчина-администратор? 2. Женщина-операционист? 3. Мужчина? 4. Операционист?
Решение.
1. В банке работают 100 человек, N = 100. Из них 15 – мужчины-администраторы, M = 15. Следовательно,
2. 35 служащих в банке – женщины-операционисты, следовательно,
3. 40 служащих в банке – мужчины, следовательно,
4. Из общего числа служащих в банке 60 – операционисты, следовательно,
Ответ. Вероятность того, что один из служащих: 1. 
2. 
3. 
4. 
Пример 2.3 Компания производит 40000 холодильников в год, которые реализуются в различных регионах России. Из них 10000 экспортируются в страны СНГ, 8000 продаются в регионах Европейской части России, 7000 продаются в страны дальнего зарубежья, 6000 в Западной Сибири, 5000 в Восточной Сибири, 4000 в Дальневосточном районе. Чему равна вероятность того, что определенный холодильник будет: 1. Произведен на экспорт? 2. Продан в России?
Решение. Обозначим события:
А – «Холодильник будет продан в странах СНГ»,
В – «Холодильник будет продан в Европейской части России»,
|
|
|
С – «Холодильник будет продан в страны дальнего зарубежья»,
D – «Холодильник будет продан в Западной Сибири»,
E – «Холодильник будет продан в Восточной Сибири»,
F – «Холодильник будет продан в Дальневосточном районе».
Соответственно,
Вероятность того, что холодильник будет продан в странах СНГ:
P(A) = 10000/40000 =0,25.
Вероятность того, что холодильник будет продан в Европейской части России:
P(B) = 8000/40000 = 0,20.
Вероятность того, что холодильник будет продан в страны дальнего зарубежья:
P(C) = 7000/40000 = 0,175.
Вероятность того, что холодильник будет продан в Западной Сибири:
P(D) = 6000/40000 = 0,15.
Вероятность того, что холодильник будет продан в Восточной Сибири:
P(E) = 5000/40000 = 0,125.
Вероятность того, что холодильник будет продан на Дальнем Востоке:
P(F) = 4000/40000 = 0,10.
События А, B, C, D, E, F – несовместные.
1.Событие, состоящее в том, что холодильник произведен на экспорт, означает, что холодильник будет продан или в страны СНГ, или страны дальнего зарубежья. Отсюда, по формуле (2.5) находим его вероятность: P(холодильник произведен на экспорт) = P(A + B) = Р(А) + Р(B) = 0,25 + 0,175 = 0,425.
2. Событие, состоящее в том, что холодильник будет продан в России, означает, что холодильник будет продан или в Европейской части России, или в Западной Сибири, или в Восточной Сибири, или на Дальнем Востоке. Отсюда, по формуле (2.6) находим его вероятность:
Р(холодильник будет продан в России) = P(A + D + E + F) = P(B) + P(D) + P(E) + P(F) = 0,20 + 0,15 + 0,125 + 0,10 = 0,575.
Этот же результат можно было получить рассуждая по другому. События «Холодильник произведен на экспорт» и «Холодильник будет продан в России» – два взаимно противоположных события, отсюда по формуле (2. 3):
Р(холодильник будет продан в России) = 1 - P(холодильник произведен на экспорт) = 1 – 0,425 =
= 0,575.
Ответ: 1. P(холодильник произведен на экспорт) = 0,425, 2. Р(холодильник будет продан в России) == 0,575.
Пример 2.4 Опыт состоит в случайном извлечении карты из колоды в 52 карты. Чему равна вероятность того, что это будет или туз, или карта масти треф?
Решение. Определим события: А - “извлечение туза”, В - “извлечение карты трефовой масти”. Вероятность извлечения туза из колоды карт Р(А) = 4/52; вероятность извлечения карты трефовой масти - Р(В) = 13/52; вероятность их пересечения - извлечение трефового туза – P(AB) = 1/52.
Проиллюстрируем это на рисунке.
| Трефы | Бубны | Пики | Червы | ||
| Туз | Туз | Туз | Туз | ||
| Король | Король | Король | Король | |||
| Дама | Дама | Дама | Дама | |||
| Событие | Валет | Валет | Валет | Валет | ||
 В
| ||||||
| ... | ... | ... | ... | |||
Рис. 2.4
События А и В - совместные, поскольку в колоде есть трефовый туз.
Согласно условию задачи, нас интересует вероятность суммы совместных событий А и В. По формуле 2.4 получим:
P(A + B) = P(A) + P(B) – P (AB) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 0,3077
Ответ: Вероятность того, что случайно выбранная карта будет или туз, или масти трефа равна 0,3077.
Пример 2.5. Консультационная фирма претендует на два заказа от двух крупных корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения консультационной работы в корпорации А равна 0,45. Эксперты также полагают, что если фирма получит заказ у корпорации А, то вероятность того, что и корпорация В обратится к ним, равна 0,9. Какова вероятность того, что консультационная фирма получит оба заказа?
Решение. Обозначим события:
А - “получение консультационной работы в корпорации А”,
В - “получение консультационной работы в корпорации В”.
События А и В - зависимые, т.к. событие В зависит от того, произойдет или нет событие А.
По условию мы имеем: Р(А) = 0,45, а также знаем, что Р(В/А) = 0,9.
Необходимо найти вероятность того, что оба события (и событие А, и событие В) произойдут, т.е. Р(АВ). Для этого используем правило умножения вероятностей (формула 2.10).
Отсюда получим:
|
|
|
Р(А В) = Р(А) Р(В/А) = 0,45 0,9 = 0,405.
Ответ. Вероятность того, что фирма получит оба заказа 0,405.
Пример 2.6. В большой рекламной фирме 21% работников получают высокую заработную плату. Известно также, что 40% работников фирмы - женщины, а 6,4% работников - женщины, получающие высокую заработную плату. Можем ли мы утверждать, что на фирме существует дискриминация женщин в оплате труда?
Решение. Сформулируем условие этой задачи в терминах теории вероятностей. Для ее решения необходимо ответить на вопрос: “Чему равняется вероятность того, что случайно выбранный работник будет женщиной, имеющей высокую заработную плату?” и сравнить ее с вероятностью того, что наудачу выбранный работник любого пола имеет высокую зарплату.
Обозначим события:
А - “случайно выбранный работник имеет высокую зарплату”;
В - “случайно выбранный работник - женщина”.
События А и В - зависимые.
По условию: Р(АB) = 0,064; Р(В) = 0,4; Р(А) = 0,21.
Нас интересует вероятность того, что наудачу выбранный работник имеет высокую зарплату при условии, что это женщина, т.е. - условная вероятность события А.
Тогда, используя теорему умножения вероятностей, получим:
.
Поскольку Р(А/В)=0,16 меньше, чем Р(А)=0,21, то мы можем заключить, что женщины, работающие в рекламной фирме, имеют меньше шансов получить высокую заработную плату по сравнению с мужчинами.
Ответ. На фирме существует дискриминация женщин в оплате труда.
Пример 2.7. Студент пришел на экзамен, изучив только 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту три вопроса. Вычислить вероятность того, что студент ответит:
1. на все три вопроса;
2. хотя бы на один вопрос.
Решение. Обозначим события:
А -“студент знает все три вопроса”;
А1 - “студент знает первый вопрос”;
А2 - “студент знает второй вопрос”;
А3 - “студент знает третий вопрос”.
По условию: P(A1) = 20/25; P(A2/A1) = 19/24; P(A3/A2 ×A1) = 18/23.
1. Искомое событие А состоит в совместном наступлении событий А1, А2, А3.
События А1, А2, А3 - зависимые.
Для решения задачи используем правило умножения вероятностей конечного числа n зависимых событий.
|
|
|
Вероятность того, что студент ответит на все три вопроса, равна 0,496.
2. Обозначим событие:
В -“студент ответит хотя бы на один вопрос”;
Событие В состоит в том, что произойдет или событие А1, а события А2 и А3 - не произойдут, или произойдет событие А2, а события А1 и А3 - не произойдут, или произойдет событие А3, а события А1 и А2 - не произойдут, или произойдут события А1 и А2, а событие А3 - не произойдет, или произойдут события А1 и А3, а событие А2 - не произойдет, или произойдут события А2 и А3, а событие А1 - не произойдет, или произойдут все три события А1, А2, А3.
Для решения этой задачи можно было бы использовать правила сложения и умножения вероятностей. Однако здесь проще применить правило для вероятности наступления хотя бы одного из n зависимых событий:
Учитывая, что:
;
,
получим:
.
Вероятность того, что студент ответит хотя бы на один вопрос, равна 0,9957.
Ответ. Вероятность того, что студент ответит на все три вопроса равна 0,496.
Вероятность того, что студент ответит хотя бы на один вопрос, равна 0,9957.
Пример 2.8. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,06. Предполагается, что оба события - независимы. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит: 1. обе рекламы; 2. хотя бы одну рекламу?
Решение. Обозначим события:
А -“ потребитель увидит рекламу по телевидению”;
В - “потребитель увидит рекламу на стенде”.
С - “потребитель увидит хотя бы одну рекламу”. Это значит, что потребитель увидит рекламу по телевидению, или на стенде, или по телевидению и на стенде.
По условию: P(A) = 0,04; P(В) = 0,06.
События А и В - совместные и независимые.
1. Поскольку вероятность искомого события есть вероятность совместного наступления независимых событий A и B (потребитель увидит рекламу и по телевидению и на стенде), т.е. их пересечения, для решения задачи используем правило умножения вероятностей для независимых событий.
Отсюда:
Р(АВ) = Р(А) × Р(В) = 0,04 × 0,06 = 0,0024.
Вероятность того, что потребитель увидит обе рекламы, равна 0,0024.
2.Так как событие С состоит в совместном наступлении событий А и В, искомая вероятность может быть найдена с помощью правила сложения вероятностей.
Р(С) = Р(А + В)= Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,04 + 0,06 - 0,0024 = 0,0976.
Вместе с тем, при решении этой задачи может быть использовано правило о вероятности наступления хотя бы одного из n независимых событий:
Учитывая, что
и
,
получим: 
Вычисление вероятностей событий такого типа характеризует эффективность рекламы, поскольку эта вероятность может означать долю (процент) населения, охватываемого, и отсюда следует оценка рекламных усилий.
Ответ. Вероятность того, что потребитель увидит обе рекламы равна 0,024.
Вероятность того, что потребитель увидит хотя бы одну рекламу равна 0,0976.
