Решение. 1. Система имеет одну степень свободы

1. Система имеет одну степень свободы. Выберем в ка­честве обобщенной координаты перемещение х груза 1 (q = х), полагая, что груз движется вниз, и отсчитывая х в сторону движения. Составим уравнение Лагранжа:

(1)

2. Определим кинетическую энергию (Т) системы, равную сумме энергий всех тел:

T = T₁ + T₂ + T₃. (2)

Так как груз 1 движется поступательно, шкив 2 вращается вокруг неподвижной оси, а каток 3 движется плоскопараллельно, то

(3)

Здесь, поскольку масса шкива считается распределенной по внешнему ободу, а каток сплошной (его радиус обозначим r₃),

(4)

3. Все скорости, входящие в T₁, T₂ и T₃, выразим через обобщенную скорость х, равную, очевидно, v₁. Если при этом учесть, что v₁ = ω₂R₂, а v_C3 = = ω₂r₂, и что точка К является для катка 3 мгновенным центром скоростей, то получим:

. (5)

Подставляя значения величин (5) и (4) в равенства (3), а затем значения T₁, T₂ и T₃ в равенство (2), найдем окончательно, что

, или (6)

Так как здесь Т зависит только от , то

и (7)

4. Найдем обобщенную силу Q. Для этого изобразим силы, совер­шающие при движении системы работу, т.е. силы , , и момент сил сопротивления М₂, направленный против вращения шкива. Затем сооб­щим системе возможное перемещение, при котором обобщенная коор­дината х получает положительное приращение δ x, и покажем перемеще­ния каждого из тел. Для груза 1 это будет δ s₁ = δ х, для шкива 2 – пово­рот на угол δ φ₂, для катка 3 – перемещение δ s₃, его центра. После этого вычислим сумму элементарных работ сил и момента на данных пере­мещениях. Получим:

δ А = Р₁ δ s₁ – М₂ δ φ₂ – Р₃ sin α δ s₃. (8)

Все входящие сюда перемещения надо выразить через δ x. Учтя, что зависимости между элементарными перемещениями здесь аналогичны зависимостям (5) между соответствующими скоростями, получим:

(9)

Подставляя выражения (9) в равенство (8) и вынося δ х за скобки, найдем, что

. (10)

Коэффициент при õх в полученном выражении и будет обобщенной силой Q. Следовательно,

или (11)

5. Подставляя найденные величины (7) и (11) в уравнение (1), получим:

Отсюда находим искомое ускорение: .

Ответ: а₁ = 0,37 g.

Примечание. Если в ответе получится а <0 (или є < 0), то это озна­чает, что система движется не в ту сторону, куда было предположено. Тогда у момента M₂, направленного против вращения шкива, изменится направление и, следовательно, как видно из равенства (11), изменится величина Q, для которой надо найти новое верное значение.