Задача 5. Механическая система состоитиз ступенчатых шкивов 1 и 2 весом Р1 и Р2 с радиусами ступеней R1 = R, r1 = 0,4 R; R2 = R

Механическая система состоитиз ступенчатых шкивов 1 и 2 весом Р₁ и Р₂ с радиусами ступеней R₁ = R, r₁ = 0,4 R; R₂ = R, r₂ = 0,8 R (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу); грузов 3, 4 и сплошного однородного цилиндрического катка 5 весом Р₃, Р₄, Р₅ соответственно (схемы 0 – 9). Тела системы соединены нитями, намотанными на шкивы; участки нитей парал­лельны соответствующим плоскостям. Грузы скользят по плоскостям без трения, а катки катятся без скольжения.

Кроме сил тяжести на одно из тел системы действует постоянная сила , а на шкивы 1 и 2 при их вращении действуют постоянные момен­ты сил сопротивления, равные соответственно М₁ и M₂.

Составить для данной системы уравнение Лагранжа и определить из него величину, указанную в табл. 7.11 (є₁, є₂, – угловые ускорения шкивов 1 и 2, a₃, a₄, a_C5 – ускорения грузов 3, 4 и центра масс катка 5 соответственно). Когда в задаче надо оп­ределить є₁ или є₂, считать R = 0,25 м.

Тот из грузов 3, 4, вес которого равен нулю, на чертеже не изобра­жать. Шкивы 1 и 2 всегда входят в систему.

Указания. Это задача на применение к изучению движения систе­мы уравнений Лагранжа. В задаче система имеет одну степень свободы, следовательно, ее положение определяется одной обобщенной координа­той, и для нее должно быть составлено одно уравнение.

Варианты схем к задаче 5

0) 2) 4) 6) 8)

1) 3) 5) 7) 9)

За обобщенную координату q принять: в задачах, где требуется определить a₃, a₄ или a_C5 – перемещение х соответствующего груза или центра масс С₅ катка 5; в задачах, где требуется определить є₁ или є₂ – угол поворота φ соответствующего шкива.

Для составления уравнения вычислить сначала кинетическую энергию (Т) системы (как в задаче 3) и выразить все вошедшие в Т скорости через обобщенную скорость, т.е. через х, если обобщенная координата х, или через , если обобщенная координата - φ. Затем вычислить обобщенную силу Q. Для этого сообщить системе возможное (малое) перемещение, при котором выбранная координата, т.е. х (или φ), полу­чает положительное приращение δ х (или δ φ), и вычислить сумму элемен­тарных работ всех сил на этом перемещении. В полученном равенстве надо все другие элементарные перемещения выразить через δ х (или через δ φ, если обобщенная координата - φ) и вынести δ х (или δ φ) за скобки. Коэффициент при δ х (или δ φ) и будет обобщенной силой Q.

Таблица 7.10