Функция распределения двумерной случайной величины

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y)(безразлично, дискретную или непрерывную).

Пусть х, у - пара действи­тельных чисел. Вероятность события, состоящего в том, что случайная величина X примет значение, мень­шее х, и при этом случайная величина Y приметзначение, меньшее у, обозначим через F(x, у). Если х и у будут изменяться, то будет изме­няться и F(х, у),т. е. F (х, у) есть функция от х и у.

Функцией распределениядвумерной случайной вели­чины (X, Y)называют функцию F(х, у),определяющую для каждой пары чисел х, у вероятность того, что X примет значение, меньшее х, и при этом Y примет зна­чение, меньшее у:

(9.1)

Геометрически это равенство можно истолковать так: F (х, у) есть вероятность того, что случайная точка (X, Y) попадет в бесконечный квадрант рас­положенный левее и ниже вершины, которая имеет координаты (x, у ):

Пример

Найти вероятность того, что в результате испытания составляющая X двумерной случайной величины (X, Y)примет зна­чение X < 2и при этом составляющая Y примет значение Y < 3,если известна функция распределения системы случайных величин:

По определению функции распределения двумерной случайной величины (согласно выражения (9.1)):

Подставим вместо x его значение равное 2 и вместо y его значение равное 3, получаем:

Свойства функции распределения двумерной случайной величины

1. Значения функции распределения удовлетворяют неравенству:

2. F(x,y) есть неубывающая функция по каждому аргументы, т.е.:

если и

3. Имеют место предельные соотношения:

Поясним первое соотношение данного пункта: по определению но событие невозможно, его вероятность равна 0, а следовательно и Аналогично поясняются и соотношения 2), 3) и 4).

4. При функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей X:

При функция распределения двумерной случайной величины становится функцией распределения составляющей Y: