Основные свойства определителей

1. При умножении всех элементов некоторой строки на число определитель исходной матрицы умножается на это число.

2. Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю

3. При перестановке двух строк определитель меняет знак.

4. Если две строки матрицы равны, то ее определитель равен нулю.

5. Определитель не меняется, если к какой-нибудь строке матрицы прибавить другую ее строку, умноженную на число.

6. Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей:

7. Определитель не меняется при транспонировании матрицы.

Замечание 1. При элементарных преобразования Гаусса определитель матрицы может только изменить знак (при перестановке строк). Поэтому удобно считать определитель матрицы, предварительно приведя ее к ступенчатому виду.

Замечание 2. Преобразование Гаусса сводит квадратичную матрицу к верхнетреугольному виду, определитель которой равен произведению диагональных элементов.

Замечание 3. Если ранг матрицы равен ее порядку, то строки матрицы линейно независимы. Таким образом, равенство нулю определителя есть признак линейной зависимости строк матрицы.