В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {ax; ay} и b = {bx; by} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = ax · bx + ay · by
Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач
В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {ax; ay; az} и b = {bx; by; bz} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz
Формула скалярного произведения n -мерных векторов
В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a1; a2;...; an} и b = {b1; b2;...; bn} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = a1 · b1 + a2 · b2 +... + an · bn
Свойства скалярного произведения векторов
1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:
a · a ≥ 0
2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:
a · a = 0 <=> a = 0
3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:
a · a = |a|2
4. Операция скалярного умножения коммуникативна:
|
|
a · b = b · a
5. Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:
a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b
6. (αa) · b = α(a · b)
7. Операция скалярного умножения дистрибутивна:
(a + b) · c = a · c + b · c
Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов
Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач
Пример 1.
Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.
Пример 2.
Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины |a| = 3, |b| = 6, а угол между векторами равен 60˚.
Решение: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.
Пример 3.
Найти скалярное произведение векторов p = a + 3b и q = 5a - 3 b, если их длины |a| = 3, |b| = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.
Решение:
p · q = (a + 3b) · (5a - 3b) = 5 a · a - 3 a · b + 15 b · a - 9 b · b =
= 5 |a|2 + 12 a · b - 9 |b|2 = 5 · 32 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ - 9 · 22 = 45 +36 -36 = 45.
Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач
Пример 4.
Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5} и b = {4; 8; 1}.
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.
Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов
Пример 5.
Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5; 2} и b = {4; 8; 1; -2}.
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.
13. Векторным произведением векторов и вектора называется третий вектор, определяемый следующим образом:
1), (1')
2) перпендикулярно, перпендикулярно. (1'')
3) векторы ориентированы также, как и базис всего пространства (положительно или отрицательно).
Обозначают:.
Физический смысл векторного произведения
|
|
― момент силы относительно точки О; ― радиус ― вектор точки приложения силы, тогда
,
причем, если перенести в точку О, то тройка,, должна быть ориентирована как вектора базиса.