Частные производные высших порядков

Частные производные функции нескольких переменных являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные- вторые частные производные (или частные производные второго порядка) исходной функции. Так, например, функция z=f(x,y) двух переменных имеет четыре частных производных второго порядка, которые определяются и обозначаются:

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и более высокого порядка функции нескольких переменных: частной производной n-ого порядка функции нескольких переменных называется частная производная первого порядка от частной производной (n-1)-го порядка той же функции.

43. Экстремум функции z=f(x,y). Необходимое и достаточное условия экстремума функции двух переменных.

Наименьшее или наибольшее значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом функции (абсолютным минимумом или абсолютным максимумом соответственно) в этой области.

Согласно теореме Вейерштрасса - непрерывная в замкнутой ограниченной области функция достигает в ней своих наибольшего и наименьшего значений.

Абсолютный экстремум достигается функцией либо в критических точках, либо на границе области.

Теорема. Пусть функция f (x, y) определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки (x ₀, y ₀), в которой f'_x = f'_y = 0. Если при этом в этой точке выполнено условие D = f''_xx × f''_yy – f''_xy ² > 0, то точка (x ₀, y ₀) является точкой экстремума, причем точкой максимума, если f''_xx < 0, и точкой минимума, если f''_xx > 0.

Если же в этой точке f''_xx × f''_yy – f''_xy ² < 0, то экстремума в точке (x ₀, y ₀) нет.

В том случае, если f''_xx × f''_yy – f''_xy ² = 0 в точке (x ₀, y ₀), теорема ответа не дает.