Пример 1. Пусть дана на плоскости Оху окружность с центром в т

Пусть дана на плоскости Оху окружность с центром в т. О₁(3;2) и радиусом 1,5. Найти уравнение этой окружности.

Решение:

Возьмем на окружности произвольную точку М(х;у). Из определения окружности следует, что О₁М=1,5. Имеем:

откуда

. (2)

Т.к. М(х;у) – произвольная точка окружности, то координаты любой точки данной окружности удовлетворяют уравнению. Пусть теперь М(х;у) – любая точка не принадлежащая окружности. Тогда ее расстояние от О₁(3;2) либо больше, либо меньше, чем 1,5, т.е.

или

Это означает, что координаты точек не принадлежащих данной окружности, не удовлетворяют уравнению (2).

Уравнение (2) является уравнением этой окружности.

Линию на плоскости Оху можно задать при помощи двух уравнений (3)

Где х и у – координаты произвольной точки М(х;у), лежащей на данной линии, а – переменная, которая называется параметром. При изменении параметра точка М(х;у) перемещается на плоскости, описываю данную линию.

Уравнения (3) называется параметрическими уравнениями линии.

Например, уравнения (4) являются параметрическими уравнениями окружности с центром в начале координат и радиусом r (рис.1.). Параметр здесь рассматривается как центральный угол.

Рис.1.

Возведем уравнения (4) в квадрат и сложим их почленно:

Для перехода от параметрических уравнений (3) к уравнениям вида F(x,y)=0 нужно исключить параметр из системы (3) с учетом областей изменения переменных х и у.