Пусть функция задана на отрезке . Разобьем отрезок на произвольных частей точками:
Выберем в каждом из частичных отрезков некоторую точку :
, и положим , где
Теперь образуем сумму произведений: которую будем называть интегральной суммой для функции на отрезке
Рис.1
Геометрический смысл интегральной суммы - это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами ().
Обозначим через длину максимального частичного отрезка данного разбиения:
.
Конечный предел интегральной суммы при , если он существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка , называется определенным интегралом от функции на отрезке :
Определенный интеграл обозначается символом
. (1)
Числа называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, - переменной интегрирования.
Функция называется интегрируемой на отрезке , если существует определенный интеграл (2).
Справедливы следующие теоремы.
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируем на нем.
|
|
Теорема. Если определенная и ограниченная на отрезке функция имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.
Теорема. Монотонная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.