Функции двух переменных

Функции двух переменных f(а,b) являются основными функциями алгебры логики. В число функций, подсчитываемых по формуле (3.2), входят фиктивные функции f₀ и f₁, функции повторения по переменным а и b (f₂ и f₄), а также функции инверсии по обеим переменным f₃ и f₅. Они фактически являются функциями одной переменной.

Остальные функции двух переменных представлены в таблице 3.4.

Таблица 3.4 – Функции двух переменных

a	b	f₆	f₇	f₈	f₉	f₁₀	f₁₁	f₁₂	f₁₃	f₁₄	f₁₅

Функция f₆ называется логическим умножением, конъюнкцией или функцией «И».Эта функция равна 1 тогда и только тогда, когда оба аргумента равны 1. Форма записи этой функции:

(3.3)

Контактным эквивалентом этой функции является последовательное соединение двух замыкающих контактов.

Функция f₇ называется логическим сложением, дизъюнкцией или функцией «ИЛИ ». Эта функция равна 0 тогда и только тогда, когда оба аргумента равны 0. Форма записи этой функции:

(3.4)

Контактным эквивалентом этой функции является параллельное соединение двух замыкающих контактов.

Функция f₈ называется альтернативой конъюнкции (инверсией произведения), штрихом Шеффера или функцией «И-НЕ». Эта функция равна 0 тогда и только тогда, когда оба аргумента равны 1. Форма записи этой функции:

(3.5)

Контактные эквиваленты этой и всех остальных функций представлены в таблице 3.5.

Функция f₉ называется альтернативой дизъюнкции (инверсией суммы), стрелкой Пирса, функцией «ИЛИ-НЕ». Функция равна единице тогда и только тогда, когда оба аргумента равны 0. Форма записи этой функции:

(3.6)

Функция f₁₀называется эквивалентностью или равнозначностью. Эта функция равна единице при равенстве аргументов и равна нулю, если значения аргументов различны. Форма записи функции:

(3.7)

Функция f₁₁называется неэквивалентностью, неравнозначностью, расчлененностью, функцией «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕИЛИ». Эта функция равна единице, если только один из аргументов равен единице. При равенстве аргументов функция равна нулю. Форма записи:

(3.8)

Функция f₁₂называется импликацией b в a. Эта функция имеет значение 0 тогда и только тогда, когда аргумент b имеет значение единицы, а аргумент a – значение 0. Форма записи:

(3.9)

Функция f₁₃ называется импликацией a в b. Эта функция имеет значение 0 тогда и только тогда, когда аргумент a имеет значение единицы, а аргумент b – значение 0. Форма записи:

(3.10)

Функция f₁₄ называется запретом a. Значение функции совпадает со значением аргумента b, если аргумент a имеет значение нуля и равно 0, если аргумент a равен единице. Форма записи:

(3.11)

Функция f₁₅ называется запретом b. Значение функции совпадает со значением аргумента a, если аргумент b имеет значение нуль, и равно 0, если аргумент b равен единице. Форма записи:

(3.12)

Несмотря на большое количество операций, осуществляемых над двумя аргументами, на практике обычно употребляются три: инверсия, конъюнкция и дизъюнкция. Они позволяют построить любую логическую функцию, и потому в дальнейшем будут использованы только эти три функции, хотя применение других функций, особенно при наличии соответствующих им специальных логических элементов, может сделать конкретную реализацию более изящной и компактной.

Таблица 3.5 – Схемная реализация функций

двух переменных

Наименование функции и операции	Контактный эквивалент функции	Бесконтактный эквивалент функции

1 Логическое умножение (конъюнкция) Операция «И»
2 Логическое сложение (дизъюнкция) Операция «ИЛИ»
3 Альтернатива конъюнкции (штрих Шеффера) Операция «И-НЕ»
4 Альтернатива дизъюнкции (стрелка Пирса) Операция «ИЛИ-НЕ»

Продолжение таблицы 3.5


5 Эквивалентность (равнозначность, совпадение)
6 Неэквивалентность (разноименность)
7 Импликация b в а
8 Импликация а в b
9 Запрет «а»
10 Запрет «в»